机器学习(5)之牛顿算法
1. 牛顿迭代算法简介
设r是
的根，选取
作为r的初始近似值，过点
做曲线
的切线L，L的方程为
，求出L与x轴交点的横坐标
，
称x
1
为r的一次近似值。
过点
做曲线
的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标
，称
为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中，
称为r的
次近似值，上式称为 牛顿迭代公式。 用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程
线性化的一种近似方法。把
在点
的某邻域内展开成泰勒级数
，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即
，以此作为非线性方程
的近似方程，若
，则其解为
， 这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式
。
牛顿方法应用于机器学习：
2. 一般初始化为0
2. 在Logistic的应用
在Logistic回归中，我们要使得对数最大似然值最大，即求 
牛顿方法的收敛速度：二次收敛
每次迭代使解的有效数字的数目加倍：假设当前误差是0.01，一次迭代后，误差为0.001，再一次迭代，误差为0.0000001。该性质当解距离最优质的足够近才会发现。
3. 牛顿方法的一般化
Θ是一个向量而不是一个数字，一般化的公式为：
是目标函数的梯度，H为Hessian矩阵，规模是n*n，n为特征的数量，它的每个元素表示一个二阶导数：
上述公式的意义就是，用一个一阶导数的向量乘以一个二阶导数矩阵的逆
优点：若特征数和样本数合理，牛顿方法的迭代次数比梯度上升要少得多
缺点：每次迭代都要重新计算Hessian矩阵，如果特征很多，则H矩阵计算代价很大
