python计算期货日波动率 期货波动率指标

波动率模型：期货波动率VS现货波动率

• 1. 主要思想
• 2. 模型推导
• 3. 参数估计
• 4. 模拟实验

Fackler, P. L., & Tian, Y. (1999). Volatility models for commodity markets.

1. 主要思想

期货价格的波动率和期权的隐含波动率依赖于基本面因素，尤其是现货的价格。（期权的隐含波动率暂时不关心）
$V_T(t) = e^{-k(T-t)} \sigma(t)$
其中，$V_T(t)$是期货价格的波动率，$\sigma(t)$是现货价格的波动率，$k$是即期对数现货价格向长期平均水平收敛的速度，T是期货剩余到期时间。$e^{-k(T-t)}$项（damping term）会使得波动率随着T的增加而降低。
$V_{T_1} >V_{T_2} , \quad for \quad T_1 < T_2$

$e^{-k(T-t)}$项很好的诠释了"萨缪尔森假设"(Samuelson 1965)或者"到期效应"，Samuelson提出期货合约随着到期日的邻近其价格波动的幅度将逐渐增大。

2. 模型推导

为了验证这个思想，作者使用了一个随机微分方程（Hull-White模型）来表示对数现货价格的变化过程，如下所示：
$dp = k(\alpha(t)-p)dt + \sigma(t) dz， p =ln P \tag{1}$
可以证明：
$\alpha(t) = \mu(t) +\mu$
其中$p$是现货价格的对数形式，$dp$相当于就是现货价格的收益率。$\alpha$和$\sigma$是时间的函数(seasonal functions of time)。这个过程呈现了收益率均值的均值回归特性和波动率的周期性变动。$k$是即期对数现货价格向长期平均水平收敛的速度，$\alpha(t)$是长期平均即期对数现货价格。（与Schwartz不同的是，这里的长期平均水平是周期性/季节性变动的，波动率依然是如此。）$\mu$和$v$是周期性函数，能从$\alpha$和$\sigma^2$推导出。

由(1)式可知，对数差分$dp$是服从正太分布的，$p(t+h)$条件均值和方差如下所示：
$E_t[p(t+h)] = \mu(t+h) +e^{-kh}(p(t)-\mu(t)), \\ Var_t[p(t+h)] = v(t+h) -e^{-2kh}v(t) \tag{2}$

参考文献：Schwartz, E. S. (1997). The stochastic behavior of commodity prices: Implications for valuation and hedging. The Journal of finance, 52(3), 923-973.
（1）式的原型来自于Schwartz, E. S. (1997)的论文，Schwartz建立了一个单因素的描述了均值回复的模型（Hull-White），假定现货价格服从以下的随机过程：
$dS = k(\mu - ln S)Sdt +\sigma S dz$
令$X=ln S$，并运动伊藤引理，可以得到:
$dX = k(\alpha-X)dt +\sigma dz \\ \alpha = \mu - \frac{\sigma^2}{2k}$
其中k代表了均值回归调整速度，k>0，代表了均值回复到长期对数价格均值的速度。$\alpha$刻画了该过程的波动率。
现货价格的对数的条件均值和方差如下所示：
$E_0[X(T)] = e^{-kT} X(0) +(1 -e^{-kT}) \alpha \\ Var_0[X(T)] = \frac{\sigma^2}{2k} (1- 2e^{-2kT})$

由现货价格的对数正态分布的性质可以得到：

到期时刻为T的期货的价格为现货价格在T时刻的期望的价格，结合(2)式和(3)式，可以得到：

由(4)式可以得到F关于P的偏导数$F_p$：
$F_p = \frac{\partial F}{\partial P} = \frac{F}{P} e^{-k(T-t)} \tag{5}$

简化起见，假定剩余到期时间为T的期货价格是现货价格的函数（单因素的模型），如果现货价格过程是满足风险中性的，或者说没有风险溢价，那么期货价格是无漂移项的价格过程，如下所示：
$dF = FV_T(t) dz \tag{6}$
根据伊藤引理，我们可以得到：
$dF = \sigma(t) P F_p dz \tag{7}$
其中F是期货的价格，P是现货的价格，$V_T(t)$是期货价格的波动率，$F_p$是F对于P的偏导数。
$V_T(t) = e^{-k(T-t)} \sigma(t) \tag{8}$

详细推导：
假设X服从几何布朗运动，$dX(t) = a(X(t),t)dt +b(X(t),t)dz$，f是X的函数，令f((X(t),t))为X(t)的二阶连续可导函数(并对t一阶可导)，由伊藤引理可得：
$df = \frac{\partial f}{\partial t}dt + \frac{\partial f}{\partial X}dX +\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial X^2}(dX)^2$
将$dX(t) = a(X(t),t)dt +b(X(t),t)dz$代入上式中，并且省去比dt更高的项$(dt)^2$,就可以得到伊藤引理的一般形式：
$df = (\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial X}a +\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial X^2}b^2)dt+\frac{\partial f}{\partial X}bdz$
可以看出f也是服从几何布朗运动的。
再回来本文，现货价格是服从几何布朗运动的，期货价格是现货价格的函数，那么可以得到上述的伊藤引理的一般公式，但由风险中性的条件可以推出期货价格过程是无漂移项的，也就是没有dt这一项，那么$df=\frac{\partial f}{\partial X}bdz, b=\sigma(t) S$

3. 参数估计

式子（1）可以写成如下的形式：
$p_t = c_t + Q_t p_{t-1} +\eta_t, \quad t=1,....,NT$
其中：
$c_t = k \alpha(t) \Delta t, \quad Q_t = 1- k \Delta t$
$\eta_t$,是无自相关的序列，并且服从正态分布，其期望和方差如下所示：
$E(\eta_t)=0, \quad Var(\eta_t) = \sigma^2 \Delta t$
通过最小二乘方式来估计出参数$Q_t$就可以得到k的值。

4. 模拟实验