狄拉克函数 深度学习 求导 狄拉克函数的laplace变换

文章目录

• Laplace 变换

• 2.1 Laplace变换概念

• 2.1.1 Laplace变换引入
• 2.1.2 Laplace变换的定义
• 2.1.3 Laplace变换的存在性定理
• 2.1.4 常见函数的Laplace变换

• 2.2 Laplace变换的性质

• 2.2.1线性性质
• 2.2.2 微分性质
• 2.2.3 积分性质
• 2.2.4 位移性质
• 2.2.5 延迟性质
• 2.2.6 初值定理与终值定理

• 2.3 Laplace逆变换
• 2.4 卷积

Laplace 变换

2.1 Laplace变换概念

2.1.1 Laplace变换引入

$Fourier$变换有非常广泛的应用，也有明显的缺点，即对函数$f(x)$的要求太苛刻，这表现在两个方面:

1. 当函数在区间$(-∞,\infty)$绝对可积，即满足$\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|\,{\rm d}x<∞$时，傅里叶变换存在。这个条件要求当$|x|→∞$时，$f(x)→0$。事实上，许多函数都不满足这个条件，如$f(x)=a(常数)$、正弦和余弦函数、线性函数、单位阶跃函数等。
2. 要求函数$f(x)$必须在整个区间$f(x)$有定义，对于定义在区间$0≤x<\infty$的函数，如以时间$t$为变量的函数$f(t)$，则无法进行$Fourier$变换。
   解决这些问题的办法是引入$Laplace$变换。

2.1.2 Laplace变换的定义

$Laplace$变换是在$Fourier$变换的基础上引入的。现在考虑对一个任意函数$g(t)(t≥0)$进行$Fourier$变换，为了使之在$(-\infty,\infty)$区间有定义，给它乘以单位阶跃函数$u(t)$；为了容易满足绝对可积条件，再乘以衰减因子$exp(-\beta t)(\beta>0)$，然后对函数$g(t)u(t)exp(-\beta t)$进行$Fourier$变换

$\begin{aligned}G_{\beta}(\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty}{\varphi(t)u(t)e^{-\beta t}e^{-i\omega t}}\,{\rm d}t\\&=\int_{0}^{+\infty}{f(t)e^{-(\beta+i\omega)t}}\,{\rm d}t=\int_{0}^{+\infty}{f(t)e^{-st}}\,{\rm d}t\end{aligned}$
其中
$s=\beta+i\omega,f(t)=\varphi(t)u(t)$
若再设
$F(s)=G_{\beta}\left(\frac{s-\beta}{i}\right)$
则得
$F(s)=\int_{0}^{+\infty}{f(t)e^{-st}}\,{\rm d}t$

定义
设函数$f(t)$当$t\ge0$有定义，而且积分
$\int_{0}^{+\infty}{f(t)e^{-st}}\,{\rm d}t$
在$s$的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为
$F(s)=\int_{0}^{+\infty}{f(t)e^{-st}}\,{\rm d}t\tag{2.1}$
我们称$(2.1)$式为函数$f(t)$的$Laplace$变换式，记为
$F(s)=\mathscr{L}\left[f(t)\right]$
$F(s)$称为$f(t)$的$Laplace$变换$(或称为象函数)$
若$F(s)$是$f(t)$的$Laplace$变换，则称$f(t)$为$F(s)$的$Laplace$逆变换$(或称为象原函数)$，记为
$f(t)=\mathscr{L}^{-1}\left[F(s)\right]$
实际上，$f(t)(t\ge0)$的$Laplace$变换，实际上就是$f(t)u(t)e^{-\beta t}$的$Fourier$变换

2.1.3 Laplace变换的存在性定理

若函数$f(t)$满足下列条件：

1. 在$t\ge0$的任一有限区间上分段连续；
2. 当$t \to +\infty$时，$f(t)$的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数$M>0$及$c\ge0$，使得
   $|f(t)|\le Me^{ct},0\le t<+\infty$

成立
则$f(t)$的$Laplace$变换
$F(s)=\int_{0}^{+\infty}{f(t)e^{-st}}\,{\rm d}t \tag{2.1}$
在半平面$Re(s)>c$上一定存在，右端的积分在$Re(s)\ge c_1>c$上绝对收敛而且一致收敛。

证明
由条件$2$可知，$\forall \,t\in[0,+\infty)$，有
$\left|f(t)e^{-st}\right|=|f(t)|e^{-\beta t}\le Me^{-(\beta -c)t},Re(s)=\beta$
若令$\beta-c\ge\varepsilon>0(即\beta \ge c+\varepsilon=c_1\ge c)$，则
$\int_{0}^{+\infty}\left|{f(t)e^{-st}}\right|\,{\rm d}t \le\int_{0}^{+\infty}{Me^{-\varepsilon t}}\,{\rm d}t=\frac{M}{\varepsilon}<+\infty$

2.1.4 常见函数的Laplace变换

$\mathscr{L}[1]=\frac{1}{s}$

$\mathscr{L}[t^n]=\frac{n!}{s^{n+1}}(n=1,2,3,\cdots)$

$\mathscr{L}\left[e^{at}\right]=\frac{1}{s-a}$

$\mathscr{L}\left[\sin kt\right]=\frac{k}{s^2+k^2}$

$\mathscr{L}\left[\cos kt\right]=\frac{s}{s^2+k^2}$

$\mathscr{L}\left[\sinh kt\right]=\frac{k}{s^2-k^2}$

$\mathscr{L}\left[\cosh kt\right]=\frac{s}{s^2-k^2}$
具体可查一些教科书的$Laplace$变换表

2.2 Laplace变换的性质

2.2.1线性性质

若$\alpha,\beta$是常数
$\mathscr{L}\left[f_1(t)\right]=F_1(s),\mathscr{L}\left[f_2(t)\right]=F_2(s)$
则有

$\left.\begin{array}{l}\mathscr{L}\left[\alpha f_{1}(t)+\beta f_{2}(t)\right]&=\alpha \mathscr{L}\left[f_{1}(t)\right]+\beta \mathscr{L}\left[f_2(t)\right] \\ \mathscr{L}^{-1}\left[\alpha F_{1}(s)+\beta F_{2}(s)\right] &=\alpha \mathscr{L}^{-1}\left[F_{1}(s)\right]+\beta \mathscr{L}^{-1}\left[F_{2}(s)\right]\end{array}\right\}\tag{2.2}$

2.2.2 微分性质

若
$\mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s)$
则有
$\mathscr{L}\left[f^{\prime}(t)\right]=sF(s)-f(0) \tag{2.3}$
证明
根据$Laplace$变换的定义，有
$\begin{aligned}\mathscr{L}\left[f^{\prime}(t)\right]&=\int_{0}^{+\infty}{f^{\prime}(t)e^{-st}}\,{\rm d}t\\&=\left.f(t)e^{-st}\right|_{0}^{+\infty}+s\int_{0}^{+\infty}{f(t)e^{-st}}\,{\rm d}t \\&=sF(s)-f(0) \end{aligned}$
推论
若$\mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s)$，则有
$\mathscr{L}\left[f^{\prime \prime}(t)\right]=s^2F(s)-sf(0)-f^{\prime}(0)$
一般地

$\begin{aligned}\mathscr{L}\left[f^{(n)}(t)\right]&=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f^{\prime}(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)\\&=s^nF(s)-\sum_{i=0}^{n-1}{s^{n-1-i}f^{(i)}(0)}\end{aligned}\tag{2.4}$

当$f(0)=f^{\prime}(0)=\cdots=f^{(n-1)}(0)=0$时，有
$\mathscr{L}\left[f^{\prime}(t)\right]=sF(s), \mathscr{L}\left[f^{\prime\prime}(t)\right]=s^2F(s),\cdots, \mathscr{L}\left[f^{(n)}(t)\right]=s^{(n)}F(s)\tag{2.5}$
对于象函数
若$\mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s)$，则
$F^{\prime}(s)=-\mathscr{L}\left[tf(t)\right],Re(s)>c\tag{2.6}$
一般地，有
$F^{(n)}(s)=(-1)^n\mathscr{L}\left[t^nf(t)\right],Re(s)>c\tag{2.7}$

2.2.3 积分性质

若$\mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s)$，则
$\mathscr{L}\left[\int_{0}^{t} {f(t)}\,{\rm d}t\right]=\frac{1}{s}F(s)\tag{2.8}$
证明
设$h(t)=\int_{0}^{t}f(t)\,{\rm d}t$，则有
$h^{\prime}(t)=f(t),且 h(0)=0$
由微分性质，有
$\mathscr{L}\left[h^{\prime}(t)\right]=s\mathscr{L}\left[h(t)\right]-h(0)= s\mathscr{L}\left[h(t)\right]$
即
$\mathscr{L}\left[\int_{0}^{t} {f(t)}\,{\rm d}t\right] =\frac{1}{s}\mathscr{L}\left[f(t)\right]= \frac{1}{s}F(s)$
推广
$\mathscr{L} \left\{ \int_{0}^{t}\,{\rm d}t \int_{0}^{t}\,{\rm d}t\cdots \int_{0}^{t}f(t)\,{\rm d}t\right\}=\frac{1}{s^n}F(s)\tag{2.9}$
象函数积分性质
$\mathscr{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right]=\int_{t}^{\infty}F(s)\,{\rm d}s\tag{2.10}$
或
$f(t)=t\mathscr{L}^{-1}\left[\int_{t}^{\infty}F(s)\,{\rm d}s\right]$
一般地，有
$\mathscr{L}\left[\frac{f(t)}{t^n}\right]= \int_{t}^{\infty}\,{\rm d}s \int_{t}^{\infty}\,{\rm d}s\cdots \int_{t}^{\infty}F(s)\,{\rm d}s\tag{2.11}$

2.2.4 位移性质

若$\mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s)$，则有
$\mathscr{L}\left[e^{at}f(t)\right]=F(s-a)(Re(s-a)>c)\tag{2.12}$
证明
根据$(2.1)$式，有
$\mathscr{L}\left[e^{at}f(t)\right]=\int_{0}^{+\infty}e^{at}f(t)e^{-st}\,{\rm d}t=\int_{0}^{+\infty}{f(t)e^{-(s-a)t}}\,{\rm d}t=F(s-a)(Re(s-a)>c)$

2.2.5 延迟性质

若$\mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s)$。又$t<0$时$f(t)=0$，对于任一非负实数$\tau$，有

$\left.\begin{array}{l}\mathscr{L}&\left[f(t-\tau)\right]&=e^{-s\tau}F(s) \\ \mathscr{L}^{-1}&\left[e^{-s\tau}F(s)\right]&=f(t-\tau)\end{array}\right\}\tag{2.13}$

证明
根据$(2.1)$式有
$\mathscr{L}\left[f(t-\tau)\right]=\int_{0}^{+\infty}{f(t-\tau)e^{-st}}\,{\rm d}t=\int_{0}^{t}{f(t-\tau)e^{-st}}\,{\rm d}t+ \int_{t}^{+\infty}{f(t-\tau)e^{-st}}\,{\rm d}t$
令$t-\tau=u$，则
$\begin{aligned} \mathscr{L}\left[f(t-\tau)\right]&=\int_{0}^{+\infty}{f(u)e^{-s(u+\tau)}}\,{\rm d}u\\&=e^{-s\tau}\int_{0}^{+\infty}{f(u)e^{-su}}\,{\rm d}u\\&=e^{-s\tau}F(s) (Re(s)>c) \end{aligned}$

2.2.6 初值定理与终值定理

初值定理
若$\mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s)$，且$\lim\limits_{s \to \infty}{sF(s)}$存在，则
$\left.\begin{array}{l}\lim\limits_{t \to 0}&f(t)&=\lim\limits_{s \to \infty}sF(s) \\or\\&f(0)&=\lim\limits_{s\to \infty}sF(s)\end{array}\right\}\tag{2.14}$
证明
根据$Laplace$变换的微分性质
$\begin{aligned} \mathscr{L}\left[f^{\prime}(t)\right]&=s\mathscr{L}\left[f(t)\right]-f(0)\\&=sF(s)-f(0) \end{aligned}$
若$\lim\limits_{s \to \infty}{sF(s)}$存在，则$\lim\limits_{Re(s) \to +\infty}{sF(s)}$必存在，且两者相等。
$\lim\limits_{s \to \infty}{sF(s)}= \lim\limits_{Re(s) \to +\infty}{sF(s)}$
两边取$Re(s)\to +\infty$时的极限
$\begin{aligned} \lim\limits_{Re(s)\to+\infty}\mathscr{L}\left[f^{\prime}(t)\right]&= \lim\limits_{Re(s)\to+\infty} \left[s\mathscr{L}\left[f(t)\right]-f(0)\right]\\&= \lim\limits_{s\to\infty} sF(s)-f(0) \end{aligned}$
另一方面
$\begin{aligned} \lim\limits_{Re(s)\to+\infty}\mathscr{L}\left[f^{\prime}(t)\right]&= \lim\limits_{Re(s)\to+\infty} \int_{0}^{+\infty}{f^{\prime}(t)e^{-st}}\,{\rm d}t\\&=\int_{0}^{+\infty} \lim\limits_{Re(s)\to+\infty} f^{\prime}(t)e^{-st}\,{\rm d}t\\&=0 \end{aligned}$
所以
$\lim\limits_{s\to\infty} sF(s)-f(0)=0$

$\lim\limits_{s\to\infty} sF(s)=f(0)=\lim\limits_{t\to 0}f(t)$
终值定理

若$\mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s)$，且$sF(s)$的所有奇点全在$s$平面的左半部，则
$\left.\begin{array}{l}&\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)&=\lim\limits_{s\to0}sF(s) \\or\\&f(+\infty)&= \lim\limits_{s\to0}sF(s)\end{array}\right\}\tag{2.15}$
证明
根据定理给出条件与微分性质
$\mathscr{L}\left[f^{\prime}(t)\right]=sF(s)-f(0)$
两边取$s\to 0$的极限，得
$\lim\limits_{s\to 0}\mathscr{L} \left[f^{\prime}(t)\right]=\lim\limits_{s\to 0}\left[sF(s)-f(0)\right]= \lim\limits_{s\to 0} sF(s)-f(0)$
而
$\begin{aligned} \lim\limits_{s\to 0}\mathscr{L}\left[f^{\prime}(t)\right]&=\lim\limits_{s \to 0}\int_{0}^{+\infty}{f^{\prime}(t)e^{-st}}\,{\rm d}s\\&=\int_{0}^{+\infty}{\lim\limits_{s\to 0}e^{-st}f^{\prime}(t)}\,{\rm d}t\\&=\int_{0}^{+\infty}{f^{\prime}(t)}\,{\rm d}t\\&= \lim\limits_{t\to +\infty} f(t)-f(0) \end{aligned}$
所以
$\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)-f(0) =\lim\limits_{s\to 0} sF(s)-f(0)$
即
$\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=f(+\infty)= \lim\limits_{s\to 0} sF(s)$

2.3 Laplace逆变换

函数$f(t)$的$Laplace$变换，实际上是$f(t)u(t)e^{-\beta t}$的$Fourier$变换。于是，当$f(t)u(t)e^{-\beta t}$满足$Fourier$积分定理的条件时，按$Fourier$积分公式，在$f(t)$连续点处有
$\begin{aligned} f(t)u(t)e^{-\beta t}&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{\left[\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)u(\tau)e^{-\beta \tau}e^{- i\omega t}\,{\rm d}\tau\right]e^{i\omega t}}\,{\rm d}\omega\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{i\omega t}}\,{\rm d}\omega\left[\int_{0}^{+\infty}{f(\tau)e^{-(\beta+i\omega)\tau}}\,{\rm d}t\right]\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{F(\beta+i\omega)e^{i\omega t}}\,{\rm d}\omega,t>0 \end{aligned}$
等式两边乘以$e^{\beta t}$，令$\beta+i\omega=s$，有
$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\beta-i\infty}^{\beta+i\infty}{F(s)e^{st}}\,{\rm d}s(t>0)\tag{2.16}$
此为象函数$F(s)$求它的象原函数$f(t)$的一般公式，右端积分称为$Laplace$反演积分。

借助留数定理计算
若$s_1,s_2,\cdots,s_n$是函数$F(s)$的所有奇点(适当选取$\beta$使这些奇点全在$Re(s)<\beta$的范围内)，且当$s \to \infty$时，$F(s)\to0$，则有
$f(t)= \frac{1}{2\pi i}\int_{\beta-i\infty}^{\beta+i\infty}{F(s)e^{st}}\,{\rm d}s=\sum_{k=1}^{n}{\underset{s=s_{k}}{\text{Res}}\left[F(s)e^{st}\right]},(t>0)\tag{2.17}$
证明用到了$Jordan$定理，可查阅复变函数论
除了上述方法，还可以用部分分式和查表方法解决。

2.4 卷积

假定$f_1(t),f_2(t)$满足$Laplace$变换存在定理中的条件，且$\mathscr{L}\left[f_1(t)\right]=F_1(s), \mathscr{L}\left[f_2(t)\right]=F_2(s)$，则$f_1(t)\ast f_2(t)$的$Laplace$变换一定存在，且
$\left.\begin{array}{l}\mathscr{L}\left[f_1(t)\ast f_2(t)\right]&=F_1(s)\cdot F_2(s)\\or \\\mathscr{L}^{-1}\left[F_1(s)\cdot F_2(s)\right]&=f_1(t)\ast f_2(t)\end{array}\right\}\tag{2.18}$
推广
若$f_k(t)(k=1,2,\cdots,n)$满足$Laplace$变换存在条件，且$\mathscr{L}\left[f_k(t)\right]=F_k(s)(k=1,2,\cdots,n)$，则有
$\mathscr{L}\left[f_1(t)\ast f_2(t)\ast \cdots\ast f_n(t)\right]=F_1(s)\cdot F_2(s)\cdot \cdots \cdot F_n(s)\tag{2.19}$