深度神经网络（DNN）模型与前向传播算法
深度神经网络（Deep Neural Networks， 以下简称DNN）是深度学习的基础，而要理解DNN，首先我们要理解DNN模型，下面我们就对DNN的模型与前向传播算法做一个总结。
1. 从感知机到神经网络
在感知机原理小结中，我们介绍过感知机的模型，它是一个有若干输入和一个输出的模型，如下图:
接着是一个神经元激活函数:
从而得到我们想要的输出结果1或者-1。
这个模型只能用于二元分类，且无法学习比较复杂的非线性模型，因此在工业界无法使用。
而神经网络则在感知机的模型上做了扩展，总结下主要有三点：
1）加入了隐藏层，隐藏层可以有多层，增强模型的表达能力，如下图实例，当然增加了这么多隐藏层模型的复杂度也增加了好多。
2）输出层的神经元也可以不止一个输出，可以有多个输出，这样模型可以灵活的应用于分类回归，以及其他的机器学习领域比如降维和聚类等。多个神经元输出的输出层对应的一个实例如下图，输出层现在有4个神经元了。
sign(z) sign(z),虽然简单但是处理能力有限，因此神经网络中一般使用的其他的激活函数，比如我们在逻辑回归里面使用过的Sigmoid函数，即：
还有后来出现的tanx, softmax,和ReLU等。通过使用不同的激活函数，神经网络的表达能力进一步增强。对于各种常用的激活函数，我们在后面再专门讲。
2. DNN的基本结构
上一节我们了解了神经网络基于感知机的扩展，而DNN可以理解为有很多隐藏层的神经网络。这个很多其实也没有什么度量标准, 多层神经网络和深度神经网络DNN其实也是指的一个东西，当然，DNN有时也叫做多层感知机（Multi-Layer perceptron,MLP）, 名字实在是多。后面我们讲到的神经网络都默认为DNN。
从DNN按不同层的位置划分，DNN内部的神经网络层可以分为三类，输入层，隐藏层和输出层,如下图示例，一般来说第一层是输出层，最后一层是输出层，而中间的层数都是隐藏层。
z=∑wixi+b z=∑wixi+b加上一个激活函数σ(z) σ(z)。
w w和偏倚b b的数量也就是很多了。具体的参数在DNN是如何定义的呢？
w w的定义。以下图一个三层的DNN为例，第二层的第4个神经元到第三层的第2个神经元的线性系数定义为w324 w243。上标3代表线性系数w w所在的层数，而下标对应的是输出的第三层索引2和输入的第二层索引4。你也许会问，为什么不是w342 w423, 而是w324 w243呢？这主要是为了便于模型用于矩阵表示运算，如果是w324 w243而每次进行矩阵运算是wTx+b wTx+b，需要进行转置。将输出的索引放在前面的话，则线性运算不用转置,即直接为wx+b wx+b。总结下，第l−1 l−1层的第k个神经元到第l l层的第j个神经元的线性系数定义为wljk wjkl。注意，输入层是没有w w参数的。
b b的定义。还是以这个三层的DNN为例，第二层的第三个神经元对应的偏倚定义为b23 b32。其中，上标2代表所在的层数，下标3代表偏倚所在的神经元的索引。同样的道理，第三个的第一个神经元的偏倚应该表示为b31 b13。同样的，输入层是没有偏倚参数b b的。
3. DNN前向传播算法数学原理
w w,偏倚b b的定义。假设我们选择的激活函数是σ(z) σ(z)，隐藏层和输出层的输出值为a a，则对于下图的三层DNN,利用和感知机一样的思路，我们可以利用上一层的输出计算下一层的输出，也就是所谓的DNN前向传播算法。
a21,a22,a23 a12,a22,a32，我们有：
a31 a13，我们有：
l−1 l−1层共有m个神经元，则对于第l l层的第j个神经元的输出alj ajl，我们有：
l=2 l=2,则对于的a1k ak1即为输入层的xk xk。
l−1 l−1层共有m个神经元，而第l l层共有n个神经元，则第l l层的线性系数w w组成了一个n×m n×m的矩阵Wl Wl, 第l l层的偏倚b b组成了一个n×1 n×1的向量bl bl , 第l−1 l−1层的的输出a a组成了一个m×1 m×1的向量al−1 al−1，第l l层的的未激活前线性输出z z组成了一个n×1 n×1的向量zl zl, 第l l层的的输出a a组成了一个n×1 n×1的向量al al。则用矩阵法表示，第l层的输出为：
这个表示方法简洁漂亮，后面我们的讨论都会基于上面的这个矩阵法表示来。
4. DNN前向传播算法
W W,偏倚向量b b来和输入值向量x x进行一系列线性运算和激活运算，从输入层开始，一层层的向后计算，一直到运算到输出层，得到输出结果为值。
W W,偏倚向量b b，输入值向量x x
aL aL
a1=x a1=x
l=2 l=2 to L L, 计算：
aL aL。
5. DNN前向传播算法小结
W W,偏倚向量b b对应的参数怎么获得呢？怎么得到最优的矩阵W W,偏倚向量b b呢？这个我们在讲DNN的反向传播算法时再讲。而理解反向传播算法的前提就是理解DNN的模型与前向传播算法。这也是我们这一篇先讲的原因。
