GARCH模型python运行结果 garch模型对数据的要求

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• 波动率的特征
• 基本模型
• ARCH

• ARCH模型的性质

• Demo: specify conditional variance model for exchange rates

• 检测条件异方差
• GARCH(1, 1)模型

• Demo: Specify Conditional Mean and Variance Models

• 设置条件均值和方差模型

• 参考资料

波动率的特征

波动率无法直接观测，但是可以从资产收益率中观测到一些特征：

• 波动率聚集(volatility cluster), 在某个特定时间段上波动率高，但是在其他时间段上波动率小
• 波动率以连续时间方式变化，几乎不存在跳跃的现象
• 波动率不会发散到无穷，在一个固定范围内变化
• 波动率对价格大幅上升和大幅下降的反应是不同的，即存在杠杆效应(leverage effect)，如EGARCH和TGARCH模型就是为了刻画波动率正负资产收益率的不对称性而提出的

基本模型

令$r_t$表示资产在时刻$t$的对数收益率，研究结果表明，对数收益率序列是前后不相关的，但不是独立的，考虑在给定$F_{t-1}$(filteration)时的条件均值和条件方差
$\begin{cases} \mu_t=E[r_t\mid F_{t-1}]\\ \sigma_t^2=Var(r_t\mid F_{t-1})=E[(r_t-\mu_t)^2\mid F_{t-1}] \end{cases}$
设置$r_t$服从一个简单的ARMA(p, q)模型，$r_t=\mu_t+a_t$，其中$\mu_t$由以下方程给出
$\mu_t=\phi_0+\sum_{i=1}^p\phi_ir_{t-i}-\sum_{j=1}^q\theta_ja_{t-j}$
可以得到条件异方差模型为
$\sigma_t^2=Var(r_t\mid F_{t-1})=Var(a_t\mid F_{t-1})$

条件异方差模型可以分为两类：第一类用确定的函数表示$\sigma_t^2$，即GARCH模型；第二类用随机方程描述$\sigma_t^2$，即SV模型

使用Ljung-Box检验序列是否存在异方差

da = read.table('data/m-intcsp7309.txt', header=T)
head(da)

intc = log(da$intc+1)
rtn = ts(intc, frequency = 12, start=c(1973, 1))
plot(rtn, type='l', xlab='year', ylab='ln-rtn') # 绘制时间序列

# 对序列均值进行t检验
t.test(intc)

# 进行Ljung-Box检验
Box.test(intc, lag=12, type='Ljung') # Ljung-Box检验

# plot
par(mfcol=c(2, 1))
acf(intc, lag=24)
acf(abs(intc), lag=24)
Box.test(abs(intc), lag=12, type='Ljung') # 更显著

ARCH

Engle(1982)提出了ARCH模型，模型的基本思想就是:

1. 资产收益率的扰动序列$a_t$是前后不相关的，但不是独立的
2. $a_t$的不独立性可以使用其滞后值得简单二次函数描述，即ARCH(m)模型设定
   $a_t=\sigma_t\varepsilon_t\\ \sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1a_{t-1}^2+\dots+\alpha_ma_{t-m}^2$
   其中$\{\varepsilon_t\}$是均值为0方差为1的独立同分布(i.i.d)的随机变量序列，其中$a_0>0, a_i\geq 0$，系数$\alpha_i$必须满足标准正态分布或者学生$t$分布或者广义误差分布(GED)，从模型结构上来看，较大的过去的平方扰动$a_{t-i}^2$会导致较大的条件方差$\sigma_t^2$，从而使得$a_t$倾向于取绝对值较大的系数，这种结构与波动率聚集的现象一致.

ARCH模型的性质

ARCH(1)模型如下
$a_t=\sigma_t\varepsilon_t\\ \sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1a_{t-1}^2$
计算出$a_t$的无条件均值为$E[a_t]=E[a_t\mid F_{t-1}]=E[\sigma_tE[\varepsilon_t]]=0$.
计算无条件方差为
$Var(a_t)=E(a_t^2)=E[E(a_t^2\mid F_{t-1})]=\alpha_0+\alpha_1E(a_{t-1}^2)$
为了研究$a_t$的尾部性质，要求$a_t$的四阶矩是有限的，当$\varepsilon_t$服从正态分布的条件下可以得到
$E[a_t^4]=E[E[a_t^4\mid F_{t-1}]]=3[E(a_t^2\mid F_{t-1})]^2=3(\alpha_0+\alpha_1a_{t-1}^2)^2$
设置$a_t$的四阶矩为平稳，可以计算出峰度(kurtosis)为
$\frac{E(a_t^4)}{[Var(a_t)]^2}=3\frac{\alpha_0^2(1+\alpha_1)}{(1-\alpha_1)(1-3\alpha_1^2)}\times\frac{(1-\alpha_1)^2}{\alpha_0^2}=3\frac{1-\alpha_1^2}{1-3\alpha_1^2}>3$
可以发现条件高斯ARCH(1)的模型扰动$a_t$比高斯白噪声序列更容易出现异常值.
模型中$\alpha_i\geq 0$的假设可以放宽，该条件保证对于所有的$t$，条件方差$\sigma_t^2$为正值，一种可行的取正值的方式为
$\begin{cases} a_t=\sigma_t\varepsilon_t\\ \sigma_t^2=\alpha_0+A_{m, t-1}$
其中$\Omega$是一个$m\times m$的非负定矩阵

Demo: specify conditional variance model for exchange rates

读取汇率数据，图像如下

%% load data
load Data_MarkPound.mat
y=Data;
T=length(y);

figure
plot(y)
h=gca;
h.XTick = [1 659 1318 1975];
h.XTickLabel = {'Jan 1984','Jan 1986','Jan 1988','Jan 1992'};
ylabel 'Exchange Rate';
title 'Deutschmark/British Pound Foreign Exchange Rate';

计算回报率序列，图像显示如下

%%
r = price2ret(y); % 计算对数收益率
r2=tick2ret(y);

figure;
plot(2:T, r);
h=gca;
h.XTick = [1 659 1318 1975];
h.XTickLabel = {'Jan 1984','Jan 1986','Jan 1988','Jan 1992'};
ylabel 'Exchange Rate Returns';
title 'Deutschmark/British Pound Foreign Exchange Rate Returns';

从图像中可以发现收益率序列存在波动性聚集的特征，即存在条件异方差性(conditional heteroscedasticity). 计算自相关函数和偏自相关函数图像如下

%% 在百分制数值状态下观测
r = 100 * r;
figure;
subplot(2, 1, 1);
autocorr(r); % 计算自相关函数
subplot(2, 1, 2);
parcorr(r); % 计算偏自相关函数

进行Ljung-Box Q-test结果如下

[h, p]=lbqtest(r, 'Lags', [5, 10, 15])

从p值可以得出，ACF和PACF没有表现出显著的自相关性，因此序列不需要建立条件均值模型.

检测条件异方差

对收益率序列进行中心化处理后，对序列平方进行ACF和PACF检测

%% conditional heteroscedasticity
subplot(2, 1, 1);
autocorr((r-mean(r)).^2);
subplot(2, 1, 2);
parcorr((r-mean(r)).^2);

从图中发现存在$k$阶截尾的特征，执行Engles’s ARCH检测，设置$k=2$

[h, p]=archtest(r-mean(r), 'Lags', 2);

从检验结果可以发现，squared returns表现除了显著的自相关性，即GARCH model with lagged variances and lagged squared innovations会更加适合该序列. Engle’s ARCH检测结果拒绝了零假设(h=1)，支持ARCH(2)模型等效于GARCH(1, 1)模型.

GARCH(1, 1)模型

基于自相关性和条件异方差，设置带均值偏移(mean offset)的GARCH(1, 1)模型
$y_t=\mu+\varepsilon_t$
其中$\varepsilon_t=\sigma_tz_t$
$\sigma_t^2=\kappa+\gamma_1\sigma_{t-1}^2+\alpha_1\varepsilon_{t-1}^2$

M = garch('Offset', NaN, 'GARCHLags', 1, 'ARCHLags', 1);

Demo: Specify Conditional Mean and Variance Models

读入NASDAQ数据

load Data_EquityIdx
nasdaq = DataTable.NASDAQ;
r = 100*price2ret(nasdaq);
T = length(r);

figure
plot(r)
xlim([0 T])
title('NASDAQ Daily Returns')

检测自相关性

%%
figure
subplot(2, 1, 1)
autocorr(r)
subplot(2, 1, 2)
parcorr(r)

进行Ljung-Box检验

[h, p]=lbqtest(r, 'Lags', 5)

拒绝了null hypothesis，表示存在序列自相关
检测序列是否存在条件异方差

%%
figure
subplot(2, 1, 1);
autocorr((r-mean(r)).^2);
subplot(2, 1, 2);
parcorr((r-mean(r)).^2);

Engle’s ARCH检测是否存在条件异方差

[h, p]=archtest(r-mean(r), 'lags', 2)

检验结果为接受备择假设，即存在条件异方差

设置条件均值和方差模型

设置AR(1)表示NASDAQ收益率序列的条件均值，GARCH(1, 1)表示条件方差
$r_t=c+\phi_1r_{t-1}+\varepsilon_t$
其中$\varepsilon_t=\sigma_tz_t$
$\sigma_t^2=\kappa+\gamma_1\sigma_{t-1}^2+\alpha_1\varepsilon_{t-1}^2$

M=arima('ARLags', 1, 'Variance', garch(1, 1))