bp神经网络回归的误差分量平方和优缺点神经网络均方误差

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数据分析大师 2023-07-21 16:04:48

文章标签 bp神经网络回归的误差分量平方和优缺点均方误差交叉熵线性回归神经网络模型 文章分类 神经网络人工智能

以均方误差或交叉熵误差作为loss function的NN, 其输出神经元的敏感度是它的激活值与目标值的差值

缩写:

NN: neural network, 神经网络
MSE: Mean Squared Error, 均方误差
CEE: Cross Entropy Error, 交叉熵误差.(此缩写不是一个conventional缩写)

标记符号:

\(net\)或\(net_i\), 净输出值, \(net = w^Tx\)
\(a\)或\(a_i\), 神经元的激活函数输出值: \(a = f(net)\)

本文所有的\(x\)都是增广后的, 即\(x_0 = 1\).

Introduction

MSE与CEE是两种常用的loss function, 它们在形式上很不一样, 但在使用梯度下降算法学习最优参数时, 会发现它们其实是殊途同归.

很多机器学习算法都可以转换成浅层神经网络模型(本文中特指全连接的MLP). 而神经网络的BP算法(BP算法也是梯度下降算法)最核心的一步就是计算敏感度(见BP), 采用不同损失函数和激活函数的NN在BP算法上的差异也主要存在于敏感度上. **所以将有监督机器学习算法转化为神经网络模型后, 只需要计算出输出神经元的敏感度就可以看出MSE与CEE之间的很多异同点. **

在利用mini-batch SGD训练神经网络时, 通常是先计算批次中每一个样本产生的梯度, 然后取平均值. 所以接下来的分析中, 只关注单个训练样本产生的loss. 根据这个loss计算敏感度.

使用MSE的典型代表是线性回归, 使用CEE的代表则是逻辑回归. 这两个算法的一些相同点与不同点可以参考blog.

问题描述:

给定:

训练集\(D = \{(x^{(1)}, y^{(1)}), \dots, (x^{(i)}, y^{(i)}), \dots, (x^{(N)}, y^{(N)})\}\), \(x^{(N)} \in \chi\), \(\chi : R^d\), \(y^{(i)}\in R\)
model family \(f(x)\)

目标: 利用\(D\)学习一个具体的\(f(x)\)用于对新样本\(x'\)进行预测:\(y' = f(x')\)

注意, 线性回归的\(f(x)与y\)取的是连续值, 而逻辑回归则是代表类别的离散值.

均方误差---线性回归

线性回归使用均方误差(Mean Squared Error, MSE)作为loss function.
将线性回归问题\(f(x) = w^Tx\)转换成神经网络模型:

输入层: \(d\)个神经元, \(d\)为\(x\)的维度.
输出层: \(1\)个神经元, 激活函数为identical, 即\(a = net = w^Tx\).
隐层: 无

在样本\((x, y)\)上的损失:

\[J(w) = \frac 12 (a - y)^2 = \frac 12 (net - y)^2 \]

输出神经元的敏感度:

\[\delta = \frac {\partial J}{\partial net} = a - y = net - y \]

交叉熵---逻辑回归

逻辑回归使用最大似然方法估计参数.

二分类逻辑回归

先说二分类逻辑回归, 即\(y = \{0, 1\}\). 将它转换成神经网络模型, 拓扑结构与线性回归一致. 不同的是输入神经元的激活函数为\(a = sigmoid(net)\). 把\(a\)看作\(y=1\)的概率值: \(P(y =1 | x) = a\). 分类依据是根据选择的阈值, 例如\(0.5\), 当\(a\)不小于它时\(y=1\), 否则\(y = 0\).
样本\((x, y)\)出现的概率, 即likelihood function:

\[l(w) = a^y(1-a)^{(1-y)} \]

log-likelihood:

\[L(w) = ln l(w) = ylna + (1-y)ln(1-a) \]

最大化\(L(w)\)就是最小化\(-L(w)\), 所以它的loss为:

\[J(w) = - L(w) = -ylna - (1 - y) ln(1 - a) \]

这实际上就是二分类问题的交叉熵loss. 如blog所示, 当\(a=0.5\)时, loss最大.
输出神经元的敏感度:

\[\delta = \frac {\partial J}{\partial net} = \frac {\partial J} {\partial a} \frac {\partial a} {\partial net} = \frac {a-y}{(1-a)a} (1-a)a = a - y \]

相信你已经看出来了, 线性回归NN的敏感度\(net - y\)实际上也是激活值与目标值的差. 也就是说, 虽然逻辑回归与线性回归使用了不同的loss function, 但它们俩反向传播的敏感度在形式上是一致的, 都是激活值\(a\)与目标值\(y\)的差值.

多分类逻辑回归

先将多分类逻辑回归转换成神经网络模型:

输入层: 同上
输出层: 有多少种类别, 就有多少个输出神经元. 用\(C\)来表示类别数目, 所以输出层有\(C\)个神经元. 激活函数为softmax函数. 输出值和二分类逻辑回归一样被当成概率作为分类依据.
隐层: 无

依然只考虑单个样本\((x, y)\).
\(y\)的预测值\(f(x)\)为输出值最大的那个神经元代表的类别, 即:

\[f(x) = arg\max_i a_i, \forall i \in \{1,\dots, C\} \]

而第\(i\)个输出神经元的激活值为:

\[a_i = \frac {e^{net_i}}{\sum_{j=1}^N e^{net^j}} \]

它代表\(x\)的类别为\(i\)的概率.
为方便写出它的似然函数, 先将\(y\)变成一个向量:

\[y \gets (y_1, \dots, y_i, \dots, y_C)^T \]

其中,

\[y_i = \begin{cases} 1&, i = y \\ 0&, i \neq y \end{cases} \]

它实际上代表第\(i\)个神经元的目标值.
所以样本\((x,y)\)出现的概率, 即它的似然函数为:

\[l(W) = \prod_{i=1}^{C} a_i^{y_i} \]

注意, 这里的权值\(W\)已经是一个\(C\times d\)的矩阵, 而不是一个列向量.
log似然函数:

\[L(W) = ln l(W) = \sum_{i=1}^{C} y_i ln a_i \]

从\(L(W)\)的长相也可以看出, 二分类的逻辑回归只是多分类逻辑回归的一种特殊形式. 也就是说, 二分类的逻辑回归也可以转换成有两个输出神经元的NN.
同样的, 最大化\(L(w)\)就是最小化\(-L(w)\), 所以它的loss为:

\[J(W) = -L(W) = - \sum_{j=1}^{C} y_j ln a_j \]

这是更一般化的交叉熵. 代入softmax函数, 即\(a_j = \frac {e^{net_j}}{\sum_{k=1}^C e^{net_k}}\), 得到:

\[J(W) = \sum_{j=1}^{C} y_j (ln \sum_{k=1}^C e^{net_k} - net_j) \]

第\(i\)个神经元的敏感度:

\[\delta_i = \frac {\partial J}{\partial net_i} = \sum_{j=1}^C y_j (\frac {\sum_{k=1}^C e^{net_k} \frac {\partial net_k}{\partial net_i}}{\sum_{k=1}^C e^{net_k}} - \frac {\partial net_j}{\partial net_i}) = \sum_{j=1}^C y_j\frac{e^{net_i}}{\sum_{k=1}^C e^{net_k}} - \sum_{j=1}^C y_j \frac {\partial net_j}{\partial net_i} = a_i - y_i \]

很神奇的一幕又出现了. 上面说过, 把目标值向量化后, \(y_i = 0,1\)实际上代表第\(i\)个神经元的目标值. 所以, 在这里, 输出神经元的敏感度也是它的激活值与目标值的差值.