7.6有向无环图应用之关键路径
关键路径
有向图在工程计划和经营管理中有着广泛的应用。通常用有向图来表示工程 计划时有两种方法：
- （1）用顶点表示活动，用有向弧表示活动间的优先关系，即上节所讨论的 AOV 网。
- （2）用顶点表示事件，用弧表示活动，弧的权值表示活动所需要的时间。
把用第二种方法构造的有向无环图叫做边表示活动的网（Activity On Edge Network）,简称 AOE-网
AOE-网在工程计划和管理中很有用。在研究实际问题时，人们通常关心的是：
- 哪些活动是影响工程进度的关键活动？
- 至少需要多长时间能完成整个工程？
在 AOE 网中存在惟一的、入度为 0 的顶点，叫做源点；存在惟一的、出度为 0 的顶点，叫做汇点。从源点到汇点的最长路径的长度即为完成整个工程任务所 需的时间，该路径叫做关键路径。关键路径上的活动叫做关键活动。这些活动中 的任意一项活动未能按期完成，则整个工程的完成时间就要推迟。相反，如果能够加快关键活动的进度，则整个工程可以提前完成。
例如，在下图所示的 AOE-网中，共有 9 个事件，分别对应顶点 v0, v1, v2, …,v7, v8。其中 v0为源点，表示整个工程可以开始。事件 v4表示 a4，a5已经完成，a7,a8 可以开始。v8为汇点，表示整个工程结束。v0到v8的最长路径（关键路径）有两 条：（v0，v1，v4，v7，v8）或（v0，v1，v4，v6，v8），长度均为 18。关键活动为
（a1，a4，a7，a10）或（a1，a2，a8，a11）。 关键活动 a1计划 6 天完成，如果 a1 提前 2 天完成，则整个工程也可以提前 2 天完成。
在讨论关键路径算法之前，首先给出几个重要的定义：
- （1）事件 vi的最早发生时间 ve(i)：从源点到顶点 vi的最长路径的长度，叫做 事件 vi的最早发生时间。
求 ve(i) 的值可从源点开始，按拓扑顺序向汇点递推：
ve(0)=0；
ve(i)=Max{ ve（k）＋dut（<k,i>）}
<k,i>∈T,1≤i≤n-1;其中，T 为所有以 i 为头的弧<k,i>的集合，dut（<k,i>）表示与弧<k,i>对 应的活动的持续时间。
- （2）事件 vi的最晚发生时间 vl(i)：在保证汇点按其最早发生时间发生这一前提下，求事件 vi的最晚发生时间。
在求出 ve(i)的基础上， 可从汇点开始，按逆拓扑顺序向源点递推，求出 vl(i)：
vl(n-1)=ve(n-1)；
vl(i)=Min{vl（k）＋dut（<i,k>）}
<i,k>∈S,0≤i≤n-2;其中，S 为所有以 i 为尾的弧<i,k>的集合，dut（<i,k>）表示与弧<i,k>对应的 活动的持续时间。
- （3）活动 ai的最早开始时间 e(i)：如果活动 ai 对应的弧为<j,k>，则 e(i)等于从源点到顶点 j 的最长路径的长度，即：e(i)=ve(j)
- （4）活动 ai的最晚开始时间 l(i)：如果活动 ai对应的弧为<j,k>，其持续时间为 dut（<j,k>）则有：l(i)=vl(k)- dut（<j,k>） 即在保证事件vk的最晚发生时间为vl(k)的前提下，活动ai的最晚开始时间为l(i)
- （5）活动 ai的松弛时间（时间余量）：ai的最晚开始时间与 ai的最早开始时间之差：l(i)- e(i)。 显然，松弛时间（时间余量）为 0 的活动为关键活动
求关键路径的基本步骤如下：
①对图中顶点进行拓扑排序，在排序过程中按拓扑序列求出每个事件的最早 发生时间 ve(i)；
②按逆拓扑序列求每个事件的最晚发生时间 vl(i)；
③求出每个活动 ai的最早开始时间 e(i)和最晚发生时间 l(i)； ④找出 e(i)=l(i) 的活动 ai，即为关键活动。
下面首先修改上一节的拓扑排序算法，以便同时求出每个事件的最早发生时 间 ve(i)：
【算法思想】
- （1） 首先求出各顶点的入度，并将入度为 0 的顶点入栈 S；
- （2） 将各顶点的最早发生时间 ve[i]初始化为 0；
- （3） 只要栈 S 不空，则重复下面处理：
①将栈顶顶点 j 出栈并压入栈 T（生成逆拓扑序列）；
②将顶点 j 的每一个邻接点 k 的入度减 1，如果顶点 k 的入度变为 0，则将 顶点 k 入栈；
③根据顶点 j 的最早发生时间 ve[j]和弧<j, k>的权值，更新顶点 k 的最早发 生时间 ve[k]。
【算法描述】 修改后的拓扑排序算法
int ve[MAX_VERTEX_NUM]; /*每个顶点的最早发生时间*/
int TopoOrder(AdjList G,Stack * T) /* G 为有向网，T 为返回拓扑序列的栈，S 为存放入度为 0 的顶点的栈*/
{
int count,i,j,k;
ArcNode *p;
int indegree[MAX_VERTEX_NUM]; /*各顶点入度数组*/
Stack S;
InitStack(T);
InitStack(&S); /*初始化栈 T, S*/
FindID(G, indegree); /*求各个顶点的入度*/
for(i=0;i<G.vexnum;i++)
if(indegree[i]==0)
Push(&S,i);
count=0;
for(i=0;i<G.vexnum;i++)
ve[i]=0; /*初始化最早发生时间*/
while(!IsEmpty(&S))
{
Pop(&S,&j);
Push(T,j);
count++;
p=G.vertex[j].firstarc;
while(p!=NULL)
{
k=p->adjvex;
if(--indegree[k]==0)
Push(&S,k); /*若顶点的入度减为 0，则入栈*/
if(ve[j]+p->Info.weight>ve[k])
ve[k]=ve[j]+p->Info.weight;
p=p->nextarc;
} /*while*/
} /*while*/
if (count<G.vexnum)
return(Error);
else
return(Ok);
}有了每个事件的最早发生时间，就可以求出每个事件的最迟发生时间，进一 步可求出每个活动的最早开始时间和最晚开始时间，最后就可以求出关键路径了。
求关键路径的算法实现如下：
【算法思想】
- （1） 首先调用修改后的拓扑排序算法，求出每个事件的最早发生时间和逆拓扑 序列栈 T；
- （2） 将各顶点的最晚发生时间 vl[i]初始化为汇点的最早发生时间；
- （3） 只要栈 T 不空，则重复下面处理： ①将栈顶顶点 j 出栈； ②对于顶点 j 的每一个邻接点 k，根据顶点 k 的最晚发生时间 vl[k]和弧<j, k> 的权值，更新顶点 j 的最晚发生时间 vl[j]。
- （4） 扫描每一条弧，计算其最早发生时间 ei 和最晚发生时间 li，如果 ei 等于 li 则输出该边。
【算法描述】 关键路径算法
int CriticalPath(AdjList G)
{
ArcNode *p;
int i,j,k,dut,ei,li;
char tag; int vl[MAX_VERTEX_NUM]; /*每个顶点的最迟发生时间*/
Stack T;
if(!TopoOrder(G, &T))
return(Error);
for(i=0; i<G.vexnum; i++)
vl[i]=ve[G.vexnum-1]; /* 将各顶点事件的最迟发生时间初始化为 汇点的最早发生时间 */
while(!IsEmpty(&T)) /*按逆拓扑顺序求各顶点的 vl 值*/
{
Pop(&T,&j);
p=G.vertex[j].firstarc;
while(p!=NULL)
{
k=p->adjvex;
dut=p->weight;
if(vl[k]-dut<vl[j])
vl[j]= vl[k]-dut;
p=p->nextarc;
} /* while */
} /* while*/
for(j=0;j<G.vexnum;j++) /*求 ei,li 和关键活动*/
{
p=G.vertex[j].firstarc;
while(p!=NULL)
{
k=p->Adjvex;
dut=p->Info.weight;
ei=ve[j];
li=vl[k]-dut;
tag = (ei==li) ? '*' : ' ' ; /*标记并输出关键活动*/
printf("%c,%c,%d,%d,%d,%c\n",G.vertex[j].data,G.vertex[k].data,dut,ei,li,ta g);
p=p->nextarc;
} /*while*/
} /* for */
return(Ok);
} /*CriticalPath*/算法的时间复杂度为 O(n+e)。用该算法求上图中 AOE-网的关键路径，结果 如下所示。
例如，对下图所示的 AOE 网计算关键路径过程如下:
