文章目录
- 1、基本概念
- 2、频谱分析
- 3、波形与其频谱之间的关系
- 4、非周期信号
- 5、噪声
- 6、滤波器
1、基本概念
周期： 每个循环的时长，如上图，周期约为2.3ms
频率： 即周期的倒数，其单位为每秒钟循环数，也称为赫兹(Hz)，上图的型号频率大约为1/2.3*1000 = 439Hz
波形：周期信号的形状
正弦信号：
（1）数学描述：
x(t) = Asin(ωt+φ)=Acos(ωt+φ－π/2)
其中，A 为振幅，ω为角频率（弧度/秒），φ 为初始相角（弧度），周期T为：T=2π/ω=1/f （f为频率）。余弦信号与正弦信号在相位上相差π/2，所以他们统称为正弦型信号（简称正弦信号）。ωt+φ称为相位。
（2）性质：
a) 两个同频率的正弦信号相加（即使振幅与相位各不相同），结果仍然是原频率的正弦信号。
b) 两个不同频率的正弦信号（ fhigh= nflow）的合成信号是非正弦周期信号，其周期等于基波（频率为flow的正弦信号就称作基波）的周期T= 1/flow （合成信号是频率与基波相同的非正弦信号）。
c) 正弦信号对时间的微分与积分仍然是同频率的正弦信号。
2、频谱分析
如图：x轴表示的是合成这个信号的频率范围，y轴表示各个频率元素的振幅。
任何信号都可以表示成一系列不同频率的正弦信号的叠加和，频谱是指相加产生信号的正弦波的集合。
离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT),DFT：将信号转换成频谱。
快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform,FFT)：计算离散傅里叶变换的一种高效方式。
基频： 频率为最低的正弦信号对应的频率（其图像为基波。
谐波： 频率为基频的整数倍的其他频率元素。
3、波形与其频谱之间的关系
（1）三角波（频率为200Hz）
谐波结构：各谐波的幅度随着频率的平方等比例地衰减且只有奇数谐波
（2）方波（频率为100Hz）
谐波结构：各谐波的幅度随着频率等比例地衰减（不是频率的平方）且只有奇数谐波
（3）混叠
采样高频信号后，其结果和采样低频信号一样（例如对5500Hz和4500Hz信号分别进行10000帧每秒的采样，由于高于5000Hz的信号被折叠刀5000Hz以下，所以其结果和采样低频信号一样）
4、非周期信号
周期信号：其包含的频率元素不随时间变化而变化
非周期信号：其频率元素随时间变化而变化
（1）当频率不变时，相位ωt+φ0 = ωt + 0（初始相角φ0=0）为
φ = ωt = (2π/T)t = (2πf)t = 2πft
（2）当频率是时间的函数时，有
Δφ = 2πf(t)Δt
经推导有：
dφ / dt = 2πf(t)
即频率是相位的导数，相位是频率的积分
（1）泄露
离散傅里叶变换假定信号是周期性的，它隐含性地将信号的开始和结尾连接起来，从而构成一个环。实际上这个假设是错误的，这将导致出现一片段外的频率元素，这些元素不是信号的频率元素，即发生泄露。
如上图，图左表示一个只有一个频率元素的440Hz的三角函数信号，没有发生泄露（只在440Hz中有一个尖峰）；图中表示发生泄露的情况（除了440Hz中有一个尖峰外，还有240Hz-640Hz之间的额外频率元素）；图右表示加窗处理的信号频率（有所改善，但是不能完全解决问题）（2）加窗
通过平滑片段的开始和结束来缓解其不连续性（下图中的上图开始和结束不连续，右边在周期之外还多出个小片段），从而减少泄露，这样做的方法叫作加窗。
窗函数： 图中间表示的是一个“汉明窗”函数，窗函数中间为1，两边的值比较小，起到平滑的作用。
图下： 显示的是窗函数乘以原信号的结果。在窗函数为1的地方，信号没有变化。在窗函数接近0的地方，信号被衰减。由于窗函数在两端都变窄，片段的结尾能平滑地连接开始。
5、噪声
噪声即不想要的信号（一个信号中包含很多频率使得噪声比较大）
（1）不相关噪声（UU噪声）
即各个值是相互独立的，也就是得到一个值不能得到其他值的信息
不相关噪声的波形如下：
UU噪声的频谱（能量与频率之间的关系）如下：
（2）布朗噪声
布朗噪声各个值是前一个值域一个随机“步长”的和，如下图
（3）白噪、粉噪、红噪（与布朗噪声类似，但是更加随机）
β=1的粉噪波形如下
6、滤波器
（1）平滑（均值滤波器）
即窗和波形数值的乘积（距离窗大小为9，则均值滤波器的窗为[1/9, 1/9, …, 1/9]）
下图为方波平滑前后的频谱图
图上表明，基频没变，前几个谐波被减弱，而更高的谐波几乎被完全消除了，所以平滑有低通滤波器的效果
（2）高斯滤波
作为一种低通滤波器，高斯平滑比简单的滑动平均要好。在比率降低之后，会一直保持低值（均值滤波会出现比率升高的情况）所以它在抑制高频元素方面做得更好
参考
1、《python数字信号处理应用》
2、https://github.com/AllenDowney/ThinkDSP
