目录
一、引入图论
二、图的基本概念与数据结构
1.基本概念
2.图与网络结构
1.邻接矩阵表示法
2.稀疏矩阵表示法
三、最短路径问题
1、迪杰斯特拉（Dijkstra）算法
2、贝尔曼-福特（Bellman-Ford）算法
3、弗洛伊德（Floyd）算法
一、引入图论
图论起源于18世纪，近几十年来，计算机技术与科学的飞速发展，大大促进了图论的研究与应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通信科学、建筑学、运筹学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。
图论所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。如果用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或者曲的）表示这两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型,借助于图论的概念、理论和方法,可以对该模型求解。哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来,问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次,再回到起点。
当然可以通过试验去尝试解决这个问题,但该城居民的任何尝试均未成功。欧拉为了解决这个问题,采用了建立数学模型的方法。他将每一块陆地用一个点来代替,将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替,从而得到一个有四个“点”、七条“线”的“图”。问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特点,给出了一笔画的一个判定法则,得到了“不可能走通”的结果,不但彻底解决了这个问题,而且开创了图论研究的先河。
二、图的基本概念与数据结构
1.基本概念
直观地讲,对于平面上的n个点,把其中的一些点对用曲线或直线连接起来,不考虑点的位置与连线曲直长短,这样形成的一个关系结构就是一个图。记成G=(V,E),V是以上述点为元素的顶点集,E是以上述连线为元素的边集。
各条边都加上方向的图称为有向图,否则称为“无向图”。如果有的边有方向,有的边无方向,则称为混合图。
任两顶点间最多有一条边,且每条边的两个端点皆不重合的图,称为简单图。
如果图的两顶点间有边相连,则称此两顶点相邻,每一对顶点都相邻的图称为完全图,否则称为非完全图，完全图记为K|v|。
2.图与网络结构
1.邻接矩阵表示法
2.稀疏矩阵表示法
三、最短路径问题
1、迪杰斯特拉（Dijkstra）算法
2、贝尔曼-福特（Bellman-Ford）算法
3、弗洛伊德（Floyd）算法
function [dist,path] = Floyd_algorithm(D)
%% 该函数用于求解一个权重邻接矩阵任意两个节点之间的最短路径
% 输入：
% D是权重邻接矩阵
% 输出：
% dist是最短距离矩阵，其元素dist_ij表示表示i,j两个节点的最短距离
% path是路径矩阵，其元素path_ij表示起点为i，终点为j的两个节点之间的最短路径要经过的节点
n = size(D,1); % 计算节点的个数
% 初始化dist矩阵
dist = D;
% 下面我们来初始化path矩阵
path = zeros(n);
for j = 1:n
path(:,j) = j; % 将第j列的元素变为j
end
for i = 1:n
path(i,i) = -1; % 将主对角线元素变为-1
end
% 下面开始三个循环
for k=1:n % 中间节点k从1- n 循环
for i=1:n % 起始节点i从1- n 循环
for j=1:n % 终点节点j从1-n 循环
if dist(i,j)>dist(i,k)+dist(k,j) % 如果i,j两个节点间的最短距离大于i和k的最短距离+k和j的最短距离
dist(i,j)=dist(i,k)+dist(k,j); % 那么我们就令这两个较短的距离之和取代i,j两点之间的最短距离
path(i,j)=path(i,k); % 起点为i，终点为j的两个节点之间的最短路径要经过的节点更新为path(i,k)
% 注意，上面一行语句不能写成path(i,j) = k; 这是网上很多地方都容易犯的错误，在PPT11页中会告诉大家为什么不能这么写
end
end
end
end
end
% %清风代码
%code1.m
% 首先将图转换为权重邻接矩阵D
n = 5; %一共五个节点
D = ones(n) ./ zeros(n); % 全部元素初始化为Inf
for i = 1:n
D(i,i) = 0; % 主对角线元素为0
end
D(1,2) = 3;
D(1,3) = 8;
D(1,5) = -4;
D(2,5) = 7;
D(2,4) = 1;
D(3,2) = 4;
D(4,3) = -5;
D(5,4) = 6;
D(4,1) = 2;
%% 调用Floyd_algorithm函数求解
[dist,path] = Floyd_algorithm(D)
print_path(path,dist,1,5)
print_path(path,dist,1,4)
print_path(path,dist,3,1)
clc
disp('下面我们打印任意两点之间的最短距离：')
print_all_path(D)
% %清风视频文件
function [] = print_path(path,dist,i,j)
%% 该函数的作用是打印从i到j经过的最短路径
% 输入：
% path是使用floyd算法求出来的路径矩阵
% dist是使用floyd算法求出来的最短距离矩阵
% i是起始节点的编号
% j是终点节点的编号
% 输出：无
if i == j
warning('起点和终点相同，请检查后重新输入') % 在屏幕中提示警告信息
return; % 不运行下面的语句，直接退出函数
end
if path(i,j) == j % 如果path(i,j) = j，则有两种可能：
% （1）如果dist(i,j) 为 Inf , 则说明从i到j没有路径可以到达
if dist(i,j) == Inf
disp(['从',num2str(i),'到',num2str(j),'没有路径可以到达'])
% （2）如果dist(i,j) 不为 Inf , 则说明从i到j可直接到达，且为最短路径
else
disp(['从',num2str(i),'到',num2str(j),'的最短路径为'])
disp([num2str(i),' ---> ',num2str(j)])
disp(['最短距离为',num2str(dist(i,j))])
end
else % 如果path(i,j) ~= j，则说明中间经过了其他节点：
k = path(i,j);
result = [num2str(i),' ---> ']; % 初始化要打印的这个字符串
while k ~= j % 只要k不等于j, 就一直循环下去
result = [result , num2str(k) , ' ---> ' ]; % i先走到k这个节点处
k = path(k,j);
end
result = [result , num2str(k)];
disp(['从',num2str(i),'到',num2str(j),'的最短路径为'])
disp(result)
disp(['最短距离为',num2str(dist(i,j))])
end
end
% % 清风数学建模学习交流
function [] = print_all_path(D)
%% 该函数的作用是求解一个权重邻接矩阵任意两个节点之间的最短路径,并打印所有的结果出来
% 输入：
% D是权重邻接矩阵
% 输出：无
[dist,path] = Floyd_algorithm(D); % 调用之前的Floyd_algorithm函数
n = size(D,1);
if n == 1
warning('请输入至少两阶以上的权重邻接矩阵') % 在屏幕中提示警告信息
return; % 不运行下面的语句，直接退出函数
end
for i = 1:n
for j = 1:n
if i ~= j % 不等号用~=表示
print_path(path,dist,i,j); % 调用之前的print_path函数
disp('-------------------------------------------')
disp(' ')
end
end
end
end
% % 清风数学建模课程摘抄【仅作为自己回忆笔记】：
1、【课本】司守奎 《数学建模算法与应用》 第二版
2、清风数学建模课程。
