1．问题描述
有5个人坐在一起，问第5个人多少岁，他说比第4个人大2岁。问
第4个人多少岁，他说比第3个人大2岁。问第3人多少岁，他说比第2个
人大2岁。问第2个人多少岁，他说比第1个人大2岁。最后问第1个人多
少岁，他说他是10岁。编写程序，求出当输入某个人时其对应的年
龄。
2．问题分析
在分析该问题前先介绍函数递归调用的基础知识。
1）函数递归调用的定义：如果在调用一个函数的过程中又出现直
接或间接地调用该函数本身，则称为函数的递归调用。Python语言中允
许函数进行递归调用。
2）程序中递归调用的方式：直接递归调用，即函数直接调用本
身。例如：
def f(x):
......
y = f(n) # 调用自身
.....
return y在调用函数f()的过程中，又要调用f()函数，这就是函数的直接递
归调用。
间接递归调用，即函数间接调用本身。例如：
def f1(x):
......
z = f2(y)
......
return 2*z
def f2(t):
.....
c = f1(a)
.....
return 3+c在上面的代码中定义了两个函数f1()和f2()。在调用f1()函数的过程
中，f1()又调用了函数f2()，而在调用函数f2()的过程中，又调用了
f1()。
注意： 在递归调用中不能出现无终止的调用，只能是有限次的递
归调用，即必须有递归结束条件。因此，在代码中一定要有控制递归
调用终止的语句。一般可以采用if语句来控制只有在某一条件成立时才
继续执行递归调用，否则不再继续递归。
了解了递归调用的基础知识后，现在对本节中提出的问题进行分
析。
该问题是一个递归问题。要求出第5个人的年龄，则必须先知道第
4个人的年龄，显然第4个人的年龄也是未知的，但可以由第3个人的年
龄推算出来。而想知道第3个人的年龄，又必须先知道第2个人的年
龄，而第2个人的年龄取决于第1个人的年龄。
又已知每个人的年龄都比其前一个人的年龄大2，因此根据题意，
可得到如下几个表达式：
age(5)=age(4)+2
age(4)=age(3)+2
age(3)=age(2)+2
age(2)=age(1)+2
age(1)=10
归纳上面的5个表达式，用数学公式表达为：
在上面的公式中，当n＞1时，求第n个人的年龄是通过一个公式来
表达的。根据式①，我们可以画图来表示求第n个人年龄的过程，如图
9.6所示即为求解第5个人年龄的过程。
求解第n个人的年龄分成两个阶段。第一个阶段是“回推”过程，第
二个阶段是“递推”过程。
在“回推”过程中，利用的是n＞1时的公式age(n-1)+2。要求的是第n
个人的年龄，因此首先将第n个人的年龄回推到第(n-1)个人的年龄，但
第n-1个人的年龄仍然未知，因此需要继续回推到第(n-2)个人的年龄，
第(n-2)个人的年龄仍然未知，需要继续向前回推，如此下去，一直回
推到第1个人的年龄。而第一个人的年龄是已知的，因此，第一阶段
的“回推”过程结束，开始第二阶段的“递推”。
在“递推”过程中，从第1个人的年龄可以推出第2个人的年龄，从
第2个人的年龄可以推出第3个人的年龄，如此下去一直递推到第5个人
的年龄。
在图9.6中，通过“回推”和“递推”两个过程，最终可得到第5个人的
年龄为18岁。
3．算法设计
理解了问题分析中的递归处理过程后，算法设计就非常简单了。
只需要将式①转换成一个函数，然后在main()函数中调用它就可以了。
4．完整的程序
根据上面的分析，编写程序如下：
#!/usr/bin/python3
# -*- coding: utf-8 -*-
# @author : liuhefei
# @desc: 递归解决年龄问题
#递归计算年龄
def age(n):
if n == 1:
x = 10
else:
x = age(n-1) + 2
return x
if __name__ == "__main__":
n = int(input("请输入n值：")) # n表示第几个人
# 调用age()函数，计算第n个人的年龄
print("第 %d 个人的年龄为：%d" %(n, age(n))) 程序分析：
虽然问题分析过程比较复杂，但该问题的程序代码非常简单，在
main()函数中通过调用age(n)函数就可以获知第n个人的年龄。
age()函数总共被调用了n次，其中age(n)是由main()函数进行调用
的，而其余的n-1次都是由age()函数自身调用的，即age()函数递归调用
了n-1次。
假设n=5，则age()函数总共被调用了5次，age()函数递归调用了4
次。
要注意的是，每次调用age()函数时并不会马上获得年龄值，而是
不断地进行递归调用，直到调用到age(1)时才有确定的年龄值，然后再
从age(1)一步步地递推回去。
age(n)函数的调用过程如图9.7所示。
5．运行结果
在PyCharm下运行程序，屏幕上提示“请输入n值：”，对该题而
言，n的最大取值为整数5。此处输入n的值为5，则计算出第5个人的年
龄为18。运行结果如图9.8所示。
6．问题拓展
由该题的分析过程可知，递归的问题都可以分为“回推”和“递推”两
个阶段，而且必须存在一个能够结束递归过程的条件，如本题中的
age(1)=10，否则递归过程会无限制地进行下去而无法结束。
下面对递归法做一总结。
递归是设计和描述算法的一种强有力的工具。能够采用递归来描
述的算法通常具有一些特征：为求解规模为n的问题，首先要将它分解
成规模较小的问题，然后通过这些小问题的解，能够方便地构造出大
问题的解，同时，这些规模较小的问题也能够采取同样的分解方法分
解成规模更小的问题，并能够通过这些更小问题的解构造出规模较大
问题的解。特别地，当问题规模n=0或n=1时，能直接获得问题的解。
递归算法的执行过程分为“回推”和“递推”两个阶段。
·在回推阶段，是把较复杂的问题（规模为n）的求解递推到比原问
题简单一些的问题（规模小于n）的求解。例如本例中，要求解
age(n)，先把它递推到求解age(n-1)，而要计算age(n-1)，又必须先计算
age(n-2)，以此类推，直到age(1)为止。需要注意的是，在递推阶段，
必须要有能够终止递归的条件。如本例中n为1时，递推可终止。
·在递推阶段，当获得最简单情况的解时，如本题中得到age(1)的
值，逐级返回，依次得到较复杂问题的解，最终获得所求问题的解。
注意： 在编写递归函数时需要注意，函数中定义的局部变量和形
式参数只在当前的调用层有效，当回推到简单问题时，原来调用层中
的局部变量和参数都被隐藏起来。每一个简单问题层中都有自己的局
部变量和参数。
