图是由顶点集合和边集合组成的，考虑怎么把这两样东西存储在计算机内存中
邻接矩阵
用两个数组来表示图。
- 一个一维数组存储图中顶点信息；
- 一个二维数组，称为「邻接矩阵」，用来存储图中的边或弧的信息。
无向图
设图G有n个顶点，则邻接矩阵arc是一个n × n的方阵
- 若
(vi, vj)∈E，arc[i][j]= 1 - 否则，
arc[i][j]= 0由于图中不存在自回路，所以邻接矩阵的主对角线，也就是arc[0][0]，arc[1][1]，arc[2][2]，arc[3][3]都是0
同时这个邻接矩阵是一个对称矩阵。
- 例如
v1到v3有一条边，arc[1][3]= 1； - 对应的
v3到v1也有一条边，arc[3][1]= 1 对于邻接矩阵都有arc[i][j]=arc[j][i]
求图中顶点的基本信息
- 顶点
vi和vj之间的边(vi, vj)是否存在，判断arc[i][j]是否为1 - 求顶点
vi的度，对矩阵第i行(或第i列)求和，v1的度即为1+0+1+1=3 - 求顶点
vi的所有邻接点，扫描矩阵第i行，若arc[i][j]为1即为邻接点
有向图
有向图的邻接矩阵的主对角线也是0
有向图讲究入度和出度，所以对应的邻接矩阵不是对称矩阵。
- 例如
v0到v3有弧，arc[0][3]=1 - 但
v3带v0没有弧，arc[3][0]= 0
求图中顶点的基本信息
- 顶点
vi到vj的弧是否存在，判断arc[i][j]是否为1 - 求顶点
vi的度，对矩阵第i行求和，再对第i列求和，两次求和结果相加得到结果。 - 求顶点
vi的所有邻接点，扫描矩阵第i行和第i列，若为1即为邻接点
网
每条边上带有权重的图叫做网，这些权重需要一并存储。
- 当
(vi, vj)∈E或∈E，arc[i][j]=Wij - 当
i=j，arc[i][j]= 0 - 其他情况，
arc[i][j]= ∞
wij表示权重，∞用来代表没有边的情况。
typedef int VertexType; //顶点类型, 假定为int
typedef char ArcType; //边的类型, 假定为char
typedef struct _mgraph {
VertexType* vexs; //顶点数一维组
ArcType** arc; //邻接矩阵
int num_vexs; //顶点数目
}mgraph;
typedef int VertexType; //顶点类型, 假定为int
typedef char ArcType; //边的类型, 假定为char
typedef struct _mgraph {
VertexType* vexs; //顶点数一维组
ArcType** arc; //邻接矩阵
int num_vexs; //顶点数目
}mgraph;void initGraph(mgraph** g){
int i;
*g = (mgraph*)malloc(sizeof(mgraph));
printf("输入顶点数\n");
scanf("%d", &(*g)->num_vexs);
(*g)->vexs = (VertexType*)malloc(sizeof(VertexType) * (*g)->num_vexs);
(*g)->arc = (ArcType**)malloc(sizeof(ArcType*) * (*g)->num_vexs);
for (i = 0; i num_vexs; i++) {
(*g)->arc[i] = (ArcType*)malloc(sizeof(ArcType) * (*g)->num_vexs);
}
}
void createGraph(mgraph* g){
int i, j;
printf("从0开始按照编号顺序输入顶点值\n");
for (i = 0; i num_vexs; i++) {
scanf("%d", &g->vexs[i]);
}
getchar();
printf("输入邻接矩阵, 矩阵元素之间不要有空格, 用#代替无穷大\n");
for (i = 0; i num_vexs; i++) {
for (j = 0; j num_vexs; j++) {
scanf("%c", &g->arc[i][j]);
}
getchar();
}
}
void initGraph(mgraph** g){
int i;
*g = (mgraph*)malloc(sizeof(mgraph));
printf("输入顶点数\n");
scanf("%d", &(*g)->num_vexs);
(*g)->vexs = (VertexType*)malloc(sizeof(VertexType) * (*g)->num_vexs);
(*g)->arc = (ArcType**)malloc(sizeof(ArcType*) * (*g)->num_vexs);
for (i = 0; i num_vexs; i++) {
(*g)->arc[i] = (ArcType*)malloc(sizeof(ArcType) * (*g)->num_vexs);
}
}
void createGraph(mgraph* g){
int i, j;
printf("从0开始按照编号顺序输入顶点值\n");
for (i = 0; i num_vexs; i++) {
scanf("%d", &g->vexs[i]);
}
getchar();
printf("输入邻接矩阵, 矩阵元素之间不要有空格, 用#代替无穷大\n");
for (i = 0; i num_vexs; i++) {
for (j = 0; j num_vexs; j++) {
scanf("%c", &g->arc[i][j]);
}
getchar();
}
}邻接矩阵的特点
- 图的邻接矩阵的表示是唯一的
- 无向图的邻接矩阵一定是一个对称矩阵，可以压缩存储
- 比较适合存储稠密图，如果存储稀疏图，矩阵中的元素存在很大的浪费
- 用邻接矩阵存储图，很容易确定任意两个顶点之间是否有边相连(数组的随机存储特性)。但要确定某个顶点的度，就必须按行、按列遍历矩阵，耗时大
无向图邻接矩阵的压缩存储
已知无向图邻接矩阵是一个对称矩阵，只需要存储上三角或下三角即可。以存储下三角为例。对于一个n*n的矩阵，压缩后元素个数为
现在要在压缩后的矩阵中访问arc[i][j]，对应的下标是
以arc[3][1]为例，上面i行总共有
个元素
再加上j，得到下标为7
下三角的元素满足 i >= j，如果要访问上三角部分，交换i和j即可
邻接表
图的邻接表存储方法将顺序存储结构和链式存储结构相结合
- 给每个顶点建立一个单链表，将顶点
i的所有邻接点串起来 - 单链表的头结点放顶点信息，所有的头结点构成一个数组，数组中下标为
i的元素表示顶点i的表头节点。
无向图
求图中顶点的基本信息
- 顶点
vi到vj的弧是否存在，在下标为i的位置进入链表查找是否有j - 求顶点
vi的度，计算对应链表的结点数 - 求顶点
vi的所有邻接点，将对应链表逐个输出
有向图
和无向图不同的是，有向图的边是有方向的，将入度和出度分开存储。
如果上面的结构叫「邻接表」，那么下面的结构就叫「逆邻接表」
网
在链表节点中增加权重数据域
typedef int VertexType;//顶点类型 假定为int
typedef char ArcType; //边的类型 假定为char
typedef struct _arcnode {
int adjvex; //邻接点下标
int weight; //权重
struct _arcnode* next;
}arcnode;
typedef struct _vertexnode {
VertexType data; //存储顶点信息
arcnode* head; //指向邻接表表头的指针
}vertexnode;
typedef struct _Lgraph {
vertexnode* arr; //顶点数组
int num_vexs; //顶点个数
}lgraph;
typedef int VertexType;//顶点类型 假定为int
typedef char ArcType; //边的类型 假定为char
typedef struct _arcnode {
int adjvex; //邻接点下标
int weight; //权重
struct _arcnode* next;
}arcnode;
typedef struct _vertexnode {
VertexType data; //存储顶点信息
arcnode* head; //指向邻接表表头的指针
}vertexnode;
typedef struct _Lgraph {
vertexnode* arr; //顶点数组
int num_vexs; //顶点个数
}lgraph;void initGraph(lgraph** g){
int n;
*g = (lgraph*)malloc(sizeof(lgraph));
printf("输入顶点数\n");
scanf("%d", &n);
(*g)->num_vexs = n;
(*g)->arr = (vertexnode*)malloc(sizeof(vertexnode) * n);
}
void createGraph(lgraph* g){
int i;
arcnode* p, * tail;
printf("从0开始按照编号顺序输入顶点值\n");
for (i = 0; i num_vexs; i++) {
scanf("%d", &g->arr[i].data);
}
getchar();
printf("从0开始按照编号顺序输入邻接表, 所以输入数据都不要用空格分开, 输入#表示当前结点输入完毕\n");
for (i = 0; i num_vexs; i++) {
char adj, weight;
p = (arcnode*)malloc(sizeof(arcnode));
g->arr[i].head = tail = p;
while ((adj = getchar()) != '#' && (weight = getchar()) != '#') {
p = (arcnode*)malloc(sizeof(arcnode));
p->adjvex = adj - '0';
p->weight = weight - '0';
tail->next = p;
tail = p;
}
tail->next = NULL;
getchar();
}
}
void initGraph(lgraph** g){
int n;
*g = (lgraph*)malloc(sizeof(lgraph));
printf("输入顶点数\n");
scanf("%d", &n);
(*g)->num_vexs = n;
(*g)->arr = (vertexnode*)malloc(sizeof(vertexnode) * n);
}
void createGraph(lgraph* g){
int i;
arcnode* p, * tail;
printf("从0开始按照编号顺序输入顶点值\n");
for (i = 0; i num_vexs; i++) {
scanf("%d", &g->arr[i].data);
}
getchar();
printf("从0开始按照编号顺序输入邻接表, 所以输入数据都不要用空格分开, 输入#表示当前结点输入完毕\n");
for (i = 0; i num_vexs; i++) {
char adj, weight;
p = (arcnode*)malloc(sizeof(arcnode));
g->arr[i].head = tail = p;
while ((adj = getchar()) != '#' && (weight = getchar()) != '#') {
p = (arcnode*)malloc(sizeof(arcnode));
p->adjvex = adj - '0';
p->weight = weight - '0';
tail->next = p;
tail = p;
}
tail->next = NULL;
getchar();
}
}邻接表的特点
- 邻接表的表示不唯一
- 对于有
n个顶点和e条边的无向图，其邻接表有n个vertexnode和2e个arcnode - 存储稀疏图时比邻接矩阵节省空间
- 求一个顶点的所有邻接点的操作很方便，遍历对应的链表即可
- 不方便检查任意一对顶点是否存在边
十字邻接表
为了兼顾出度和入度的问题，十字邻接表将邻接表和逆邻接表结合起来
typedef int VertexType;
typedef struct _arcnode {
int tailvex, headvex; //tail为起点, head为终点
struct _arcnode* headlink, * taillink; //headlink指向下一条入边, taillink指向下一条出边
}arcnode;
typedef struct _vexnode {
VertexType data; //顶点数据域
arcnode* firstin, * firstout; //firstin入边链表头指针, firstout出边链表头指针
}vexnode;
typedef int VertexType;
typedef struct _arcnode {
int tailvex, headvex; //tail为起点, head为终点
struct _arcnode* headlink, * taillink; //headlink指向下一条入边, taillink指向下一条出边
}arcnode;
typedef struct _vexnode {
VertexType data; //顶点数据域
arcnode* firstin, * firstout; //firstin入边链表头指针, firstout出边链表头指针
}vexnode;
- 找到所有的出边 从
firstout出发，沿着taillink链走，找到<0,3> - 找到所有的入边 从
firstin出发，沿着headlink链走，找到<1,0>，<2,0>
邻接多重表
邻接多重表用于存储无向图。
在无向图的邻接表存储方法中，每条边(vi, vj)用两个边结点表示。在操作图时带来不便，例如删除某条边时，需要花时间在整个表中找到这两个节点。
typedef int VertexType;
typedef struct _arcnode {
int ivex;
struct _arcnode* ilink;
int jvex;
struct _arcnode* jlink;
}arcnode;
typedef struct _vexnode {
VertexType data;
arcnode* firstedge;
}vexnode;
typedef int VertexType;
typedef struct _arcnode {
int ivex;
struct _arcnode* ilink;
int jvex;
struct _arcnode* jlink;
}arcnode;
typedef struct _vexnode {
VertexType data;
arcnode* firstedge;
}vexnode;
对于邻接多重表而言，所有依附于同一顶点的边串联在同一链表中
找到依附于顶点0的所有边
- 从下标为
0的firstedge出发，找到边(v0, v1)，idex为0，顺着ilink找到下一条边 - 找到边
(v3, v0)，jdex为0，顺着jlink往下找 - 找到
(v0, v2)，idex为0，ilink为NULL，结束
如果要删掉(v0, v2)，只需将图中的⑤和⑩删掉即可。
边集数组
用一个一维数组来存储弧的起点、终点和权重信息。边集数组不适合对顶点相关的操作，它比较适合对边进行处理的操作。
VisuAlgo
可视化的数据结构，帮助理解
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