机器学习特征进行插值

文章目录

• 基本概念
• 一些插值函数
• 拉格朗日，牛顿插值法

• Hermite 样条
• Kochanek–Bartels 样条
• Catmull-Rom 样条
• RBF 径向基函数
• 薄板样条

看过很多遍，但是其中的关系理解不清楚，没想到写在一起自然就知道了。主要有时候不用理解具体内容，而是知道每个概念之间的关系就能明白为什么发展成这种形式。

基本概念

插值就是要过所有的数据点，拟合则是满足一定趋势就行

给定 (x,y), y=f(x) 构造一个简单函数 P(x) 满足 $y_i=P(x_i)$ ，则P(x) 为插值函数
一般P(x) 为分段插值多项式

一些插值函数

拉格朗日，牛顿插值法

这些就是构造高次多项式拟合，但是容易仅仅再函数值层面符合f(x)，满足不了其他特性。

一次一般要使用分段插值

Hermite 样条

可以满足导数一致性，一般使用三次。
三次Hermite插值 这里讲了为什么基函数要那样构造，首先要满足正交，其次推理出来系数项。
第9页有详细的求法

Kochanek–Bartels 样条

给定n+1个节，用n个 Hermite 曲线段进行插值。 但是每条曲线，切线的定义由 TCB 三个量来控制。 （可能是同一组？）

疑问：也就是说对于每个 hermite 少一个参数，而且还有一定的控制意义？还是说又增加了三个参数，以保证一定控制性。

Catmull-Rom 样条

就是 Kochanek–Bartels 中 TCB = 0 的情况。 比较适用于 轨迹线算法
特点：1）中间点的切线，与相邻两点连线平行 2）经过所有中间点

$\tau$ 是个控制参数，表示切线比例， 具体推导细节可以看 Catmull-Rom Spline

RBF 径向基函数

主要可以理解为把前面的导数部分换成了核函数，使其局部满足一定的条件。
比如如果选用高斯核函数，那么局部就会呈现处高斯分布状。

与上面不同的是，这里面是一次性拟合非常多的点。 可视化概念如下所示

这里讲了如何用网络来表示

薄板样条

是 RBF选用的基的一种，主要是保证了弯折能量最小