1. 小波理论
小波分析是针对傅里叶变换的不足发展而来的。傅里叶变换是信号处理领域中应用最广泛的一种分析手段，然而它有一个严重不足，就是变换时抛弃了时间信息，通过变换结果无法判断某个信号发生的时间，即傅里叶变换在时域中没有分辨能力。小波是一种长度有限、平均值为0 的波形， 它的特点包括：
① 时域都具有紧支集或近似紧支集；
②直流分量为o .
小波函数是由一个母小波函数经过平移与尺寸伸缩得到， 小波分析即把信号分解成一系列小波函数的叠加。
小波变换是指把某一基本小波函数ψ （ t）平移τ 后，再在不同尺度α 下与待分析的信号工（ t ）做内积。
等效的时域表达式
式中，τ和a是里面的参数，τ相当于使镜头相对于目标平行移动，a相当于使镜头向目标推进或远离。
从上述两式中可以看出，小波分析能够通过小波基函数的变换分析信号的局
部特征，并且在二维情况下具有信号方向选择性能力，因此，该方法作为一种数学理论和分析
方法，引起了广泛关注。
2. 小波神经网络
小被神经网络是一种以BP 神经网络拓扑结构为基础，把小被基函数作为隐含层节点的传
递函数，信号前向传播的同时误差反向传播的神经网络。小波神经网络的拓扑结构如图32 - 1
所示图中，X1,X2,....Xk是小波神经网络的输入参数，Y1,Y2，...Ym是小波神经网络的预测输出，Wij和Wjk为小波神经网络的权值。
在输入信号序列为Xi(i=1,2,...k)时，隐含层输出计算公式为
图 小波神经网络拓扑结构
式中，h(j)为隐含层第j个节点输出值，Wij为输入层和隐含层的连接权值；bj为小波基函数hj的平移因子；aj为小波基函数hj的伸缩因子；hj为小波基函数。
本案例采用的小波基函数为Morlet母小波基函数，数学公式为
函数图形如图所示：
图 Morlet母小波基函数
小波神经网络输出层计算公式为
其中k=1，2，...m
式中，Wjk为隐含层到输出层权值，h(i)为第i个隐含层节点的输出；l为隐含层节点数，m为输出层节点数。
小波神经网络权值参数修正算法类似于BP神经网络权值修正算法，采用梯度修正法修正网络的权值和小波基函数参数，从而使小波神经网络预测输出不断逼近期望输出。小波神经网络修正过程如下：
（1）计算网络预测误差
式中，yn(k)为期望输出；y(k) 为小波神经网络预测输出
（2）根据预测误差e修正小波神经网络的权值和小波基函数系数
小波神经网络算法训练步骤如下：
步骤1 ： 网络初始化。随机初始化小波函数伸缩因子ω 、平移因子bk以及网络连接权重Wij和Wjk，设置网络学习速率η。
步骤2 ： 样本分类。把样本分为训练样本和测试样本，训练样本用于训练网络，测试样本用于测试网络预测精度。
步骤3 ：预测输出。把训练样本输入网络，计算网络预测输出并计算网络输出和期望输出的误差；
步骤4 ：权值修正。根据误差e 修正网络权值和小波函数参数，使网络预测值逼近期望值。
步骤5 ：判断算法是否结束，若没有结束， 返回步骤3 。
3. 小波神经网络应用模型
3.1 短时交通流量预测
3.2辖区案件数量预测
3.3人口预测
3.4 （短时）电力负荷预测
