两个随机变量的概念立即可以扩展到n个随机变量，下面就是n个随机变量空间的定义。
定义1：考虑一个随机试验，其样本空间为C，随机变量Xi给每个元素c∈C只分配一个值Xi(c)=xi,i=1,2,…,n，我们说(X1,…,Xn) 是一个n维随机向量，这个随机向量的空间就是有序n元D={(x1,x2,…,xn):x1=X1(c),…,xn=Xn(c),c∈C} 的集合。进一步，令A是空间D的子集，则P[(X1,…,Xn)∈A]=P(C)，其中C={c:c∈C,(X1(c),X2(c),…,Xn(c))∈A}。
本篇文章我们将使用向量符号。例如我们用n维列向量X表示(X1,…,Xn)′，x表示随机变量的观测值(x1,…,xn)′，联合cdf定义为
FX(x)=P[X1≤x1,…,Xn≤xn]
n个随机变量X1,X2,…,Xn是离散型或者连续性，其联合cdf为
FX(x)=∑w1≤x1,…,wn≤xn∑p(w1,…,wn)
或者
FX(x)=∫w1≤x1,…,wn≤xn∫f(w1,…,wn)dw1⋯dwn
对于连续情况
∂n∂x1⋯∂xnFX(x)=f(x)
同样的扩展联合pdf的定义，可以看出如果(a)函数f有定义且其参数的所有值均为正，(b)其在参数上所有值的积分为1，那么该函数基本满足成为pdf的条件。同样的如果(a) 函数p有定义且其参数上所有值均为正，(b)其在参数上所有值的求和为1，那么该函数基本满足成为pmf的条件。与之前的文章一样，有时为了方便我们说随机向量的支撑集，对于离散情况，就是在D中的所有点均有正的质量，而对于连续情况，就是D中所有点都能嵌入到正概率的开集中，我们将用S表示支撑集。
例1：令
f(x,y,z)={e−(x+y+z)00<x,y,z<∞elsewhere
是
随机变量X,Y,Z的pdf，那么X,Y,Z的分布函数为
F(x,y,z)=P(X≤x,Y≤y,Z≤z)=∫z0∫y0∫x0e−u−v−wdudvdw=(1−e−x)(1−e−y)(1−e−z),0≤x,y,z≤∞
其他地方等于零。
令(X1,X2,…,Xn)是随机向量，对某个函数u使得Y=u(X1,X2,…,Xn)，与二元变量一样，对连续型，如果n重积分
∫∞−∞⋯∫∞−∞|u(x1,x2,…,xn)|f(x1,x2,…,xn)dx1dx2⋯dxn
存在，那么随机变量的期望存在。对离散型，如果n重和
∑xn⋯∑x1|u(x1,x2,…,xn)|f(x1,x2,…,xn)
存在，那么随机变量的期望存在。如果Y的期望值存在，那么对连续型，其等于
E(Y)=∫∞−∞⋯∫∞−∞u(x1,x2,…,xn)f(x1,x2,…,xn)dx1dx2⋯dxn
对离散型，其等于
E(Y)=∑xn⋯∑x1|u(x1,x2,…,xn)|f(x1,x2,…,xn)
前面讨论的期望值性质对n维情况也成立。特别地，E是一个线性运算，即如果Yj=uj(X1,…,Xn),j=1,…,m且每个E(Yi)存在，那么
E⎡⎣∑j=1mkjYj⎤⎦=∑j=1nkjE[Yj]
其中k1,…,km是常数。
接下来我们讨论n个随机变量的边缘与条件概率密度函数的概念，之前所有的定义可以直接推广到n个变量的情况。令随机变量X1,X2,…,Xn是连续型的，且联合pdf为f(x1,x2,…,xn)，与两个变量的情况类似，对任意b我们有
FX1(b)=P(X1<b)=∫b−∞f1(x1)dx1
其中f1(x1)为n−1元积分
f1(x1)=∫∞−∞⋯∫∞−∞f(x1,x2,…,xn)dx2⋯dxn
因此f1(x1)是随机变量X1的pdf，f1(x1)称为X1的边缘pdf，X2,…,Xn的边缘概率密度函数f2(x2),…,fn(xn)分别为相似的n−1元积分。
目前为止，每个边缘pdf有一个单随机变量的pdf，这就很方便将其扩展到联合概率密度函数。令f(x1,x2,…,xn) 是n个随机变量X1,X2,…,Xn的联合pdf，但是我们接下来考虑k<n个随机变量的联合pdf，例如取n=6,k=3，我们选择X2,X4,X5，那么X2,X4,X5的边缘pdf就是他们的联合pdf，即
∫∞−∞∫∞−∞∫∞−∞f(x1,x2,x3,x4,x5,x6)dx1dx3dx6
这里假设随机变量是连续型的。
接下里我们扩展条件pdf的定义，假设f1(x1)>0，那么我们用关系
f2,…,n|1(x2,…,xn|x1)=f(x1,x2,…,xn)f1(x1)
定义符号f2…,xn|x1。f2…,xn|x1称为给定X1=x1,X2,…,Xn的联合条件pdf，任何n−1 个随机变量的联合条件pdf，假设为给定Xi=xi，X1，…，Xi−1，Xi+1，…,Xn，定义为X1,…,Xn的联合pdf除以fi(xi)的边缘pdf，其中fi(xi)>0。更一般的，给定k个随机变量，n−k个随机变量的联合边缘pdf定义为n个变量的联合pdf除以k个变量的边缘pdf，假设后者的pdf为正。
因为条件pdf是某些随机变量的pdf，所以这些随机变量的函数期望值有定义。例如考虑连续情况，给定X1=x1,u(X2,…,Xn)的条件期望为
E[u(X2,…,Xn)|x1]=∫∞−∞⋯∫∞−∞u(x2,…,xn)f2,…,n|1(x2,…,xn|x1)dx2⋯dxn
假设f1(x1)>0且积分收敛(绝对)。一个有用的随机变量为h(X1)=E[u(X2,…,Xn)|X1]。
上面讨论的边缘与条件分布同样可以推广到离散的情况，只需要将求和符号代替积分符号即可。
令随机变量X1,X2,…,Xn的联合pdf为f(x1,x2,…,xn)，边缘概率密度函数分别为f1(x1),f2(x2),…,fn(xn)。X1,X2独立的定义也可以推广到X1,X2,…,Xn的情况：对于连续型，随机变量X1,X2,…,Xn是互相独立的，当且仅当
f(x1,x2,…,xn)≡f1(x1)f2(x2)⋯fn(xn)
对于离散型，当且仅当
p(x1,x2,…,xn)≡p1(x1)p2(x2)⋯pn(xn)
假设X1,X2,…,Xn是互相独立的，那么
P(a1<X1<b1,a2<X2<b2,…,an<Xn<bn)=P(a1<X1<b1)P(a2<X2<b2)⋯P(an<Xn<bn)=∏i=1nP(ai<Xi<bi)
其中符号∏ni=1φ(i)定义为
∏i=1nφ(i)=φ(1)φ(2)⋯φ(n)
对于独立随机变量X1,X2的E[u(X1)v(X2)]=E[u(X1)E[v(X2)]相对互相独立的随机变量X1,X2,…,n就变成
E[u1(X1)u2(X2)⋯un(Xn)]=E[u1(X1)]E[u2(X2)]⋯E[un(Xn)]
或者
E[∏i=1nui(Xi)]=∏i=1nE[ui(Xi)]
n个随机变量X1,X2,…,Xn联合分布的矩生成函数定义如下，对−hi<ti<hi,i=1,2,…，其中hi是正的，
E[exp(t1X1+t2X2+⋯+tnXn)]
存在，其期望用M(t1,t2,…,tn)表示并称为X1,…,Xn联合分布的mgf(或者简单称为X1,…,Xn的mgf)。与单个或两个变量一样，它的mgf 是唯一的且唯一决定n个变量的联合分布(因此对所有的边缘分布也如此)。例如Xi的边缘分布mgf为M(0,…,0,ti,0,…,0),i=1,2,…,n；Xi,Xj的边缘分布mgf为M(0,…,0,ti,0,…,0,tj,0,…,0)；等等。上篇文章的定理5可以进行推广，因式分解
M(t1,t2,…,tn)=∏i=1nM(0,…,0,ti,0,…,0)
是X1,X2,…,Xn互相独立的充分必要条件，注意我们可以用向量符号量联合mgf写成
M(t)=E[exp(t′X)],t∈B⊂Rn
其中B={t:−hi<ti<hi,i=1,…,n}。
例2：令X1,X2,X3是三个互相独立的随机变量并每个pdf为
f(x)={2x00<x<1elsewhere
X1,X2,X3的联合pdf为f(x1)f(x2)f(x3)=8x1x2x3,0<xi<1,i=1,2,3，其余地方为零。为了说明，5X1X32+3X2X43的期望为
∫10∫10∫10(5x1x32+3x2x43)8x1x2x3dx1dx2dx3=2
令Y是X1,X2,X3的最大值，那么我们有
P(Y≤12)=P(X1≤12,X2≤12,X3≤12)=∫1/20∫1/20∫1/208x1x2x3dx1dx2dx3=()6=164
利用相同的方式，我们可以计算出Y的cdf为
G(y)=P(Y≤y)=⎧⎩⎨0y61y<00≤y<11≤y
那么Y的pdf为
g(y)={6y500<y<1elsewhere
注1：如果X1,X2,X3是互相独立的，那么他们是成对独立的(即i≠j,Xi,Xj就独立，其中i,j=1,2,3)，然而，下面的例子说明成对独立不一定互相独立。令X1,X2,X3的联合pdf为
f(x1,x2,x3)={140(x1,x2,x3)∈{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,1)}elsewhere
Xi,Xj,i≠j的联合pdf为
fij(xi,xj)={140(xi,xj)∈{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)}elsewhere
其中Xi的边缘pmf为
fi(xi)={120xi=0,1elsewhere
很明显，如果i≠j，我们有
fij(xi,xj)={140(xi,xj)∈{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)}elsewhere
其中Xi的边缘pmf为
fi(xi)={120xi=0,1elsewhere
很明显，如果i≠j，我们有
fij(xi,xj)≡fi(xi)fj(xj)
因此Xi,Xj是独立的。然而
f(x1,x2,x3)≢f1(x1)f2(x2)f3(x3
所以X1,X2,X3不是互相独立的。
除非互相与成对独立会产生误解，我们通常不用修饰语互相。因此当我们说X1,X2,X3是独立的随机变量时，指的是他们互相独立。偶尔为了强调，我们会使用互相独立，读者须知道互相与成对独立是有区别的。
另外，如果几个随机变量互相独立且有同样的分布，我们称他们为独立同分布，简写为iid。
