图神经网络 图分类 matlab 图神经网络公式

GNN（图神经网络）

• 图卷积的谱方法

• 图（Graph）
• 图拉普拉斯矩阵（Graph Laplacian）
• 正则化的图拉普拉斯矩阵（Normalized graph Laplacian）
• 图傅里叶基（Fourier basis of graph G G G）
• 图傅里叶变换（Graph Fourier transform）
• 谱域的卷积定理（Convolution theorem）
• 谱域的图卷（Spectral Graph CNN）
• 切比雪夫多项式近似图卷积核（ChebyNet）
• 图小波神经网络（Graph wavelet neural network-GWNN）

• 图卷积的空间方法

• 初步的图重构的方法
• GraphSAGE
• Graph Convolution Network-GCN
• Graph Attention Network-GAT
• 普通的空间方法框架-MoNet

• 图卷积谱方法和空间方法的关系

• 谱方法是空间方法的特例
• 图的卷积核
• 改进切比雪夫方法
• 方法对比

• 图池化（Graph Pooling）

• 图粗化（Graph coarsening）
• 节点选择（Node selection）

拉普拉斯矩阵示例视频地址

图卷积的谱方法

图（Graph）

$\boldsymbol{G = (V,E,W)}$

• $\boldsymbol{V-节点的集合}$
• $\boldsymbol{E-边的集合}$
• $\boldsymbol{W-权重的集合,W \in R^{n \times n}}$
• $\boldsymbol{X-节点的特征矩阵,X \in R^{n \times d}}$
  每个节点都有d维的特征，X为节点的特征矩阵，X的每一列可以看作定义在n个节点的图上的信号。（信号处理）

图拉普拉斯矩阵（Graph Laplacian）

定义了图上的导数，刻画了信号在图上的平滑程度。
$\boldsymbol{L = D - W}$

• $\boldsymbol{D-度矩阵，\boldsymbol{D}_{i i}=\sum_{j} \boldsymbol{W}_{i j}}$
• $\boldsymbol{W-权值矩阵}$

正则化的图拉普拉斯矩阵（Normalized graph Laplacian）

$\boldsymbol{L}=\boldsymbol{I}-\boldsymbol{D}^{-\frac{1}{2}} \boldsymbol{W} \boldsymbol{D}^{-\frac{1}{2}}$
$\boldsymbol{I}$为单位矩阵，$\boldsymbol{L}$的每个元素如下：
$\boldsymbol{L_{i, j}:=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text { if } i=j \text { and } \operatorname{deg}\left(v_{i}\right) \neq 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{\operatorname{deg}\left(v_{i}\right) \operatorname{deg}\left(v_{j}\right)}} & \text { if } i \neq j \text { and } v_{i} \text { is adjacent to } v_{j} \\ 0 & \text { otherwise. } \end{array}\right.}$

图傅里叶基（Fourier basis of graph $G$）

假如图上有n个节点，每个节点有一个取值，图上的一个信号就是一个n维度的向量，我们需要把这个n维度的向量变换到新的域里边去，那就需要一组基，这组基呢就是拉普拉斯矩阵的n个特征向量。它的n个特征向量就构成了一个n维空间，且n个特征向量正交的，这是由拉普拉斯矩阵性质决定的。我们所需要做的就是把这信号x投影在这n个基上，就相当于$x在u_1的投影 = x \cdot u_1$，x在新的这组基下的投影$\widehat{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{U}^{T} \boldsymbol{x}$，$\widehat{\boldsymbol{x}}$就是这个原始信号在谱域的表达。如何转换回，需要对其进行逆变换$x=U \widehat{x}$。

• $U=\boldsymbol{\left\{\boldsymbol{u}_{l}\right\}_{l=1}^{n}-L的正交特征向量的集合}$
• $\boldsymbol{\left\{\boldsymbol{\lambda}_{l}\right\}_{l=1}^{n}-L的非负特征值的集合}$
• 图拉普拉斯L可对角化：$\boldsymbol{ \begin{array}{c} L=U \Lambda U^{T} \\ \text { where } U=\left[\boldsymbol{u}_{1}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}\right], \text { and } \Lambda=\operatorname{diag}\left(\left[\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right]\right) \end{array}}$

图傅里叶变换（Graph Fourier transform）

图傅里叶变换：
$\widehat{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{U}^{T} \boldsymbol{x}$
图傅里叶逆变换：
$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{U} \widehat{\boldsymbol{x}}$

谱域的卷积定理（Convolution theorem）

两个信号的卷积，可以看成他们傅里叶变换后的点积。
根据卷积定理，给定一个x作为输入，y作为卷积核，图卷积$*_G$可表示为
【对整体进行傅里叶逆变换（（对x进行傅里叶变换）点乘（对y进行傅里叶变换））】

$\boldsymbol{x *_{G} y=U\left(\left(\boldsymbol{U}^{T} \boldsymbol{x}\right) \odot\left(\boldsymbol{U}^{T} y\right)\right)}$

• $\boldsymbol{U^{T} y-在谱域上的卷积核}$

所以可进一步表示为：

$\boldsymbol{x} *_{\boldsymbol{G}} \boldsymbol{y}=\boldsymbol{U} \boldsymbol{g}_{\theta} \boldsymbol{U}^{\boldsymbol{T}} \boldsymbol{x}$

谱域的图卷（Spectral Graph CNN）

h-非线性变换。

切比雪夫多项式近似图卷积核（ChebyNet）

图小波神经网络（Graph wavelet neural network-GWNN）

图卷积的空间方法

初步的图重构的方法

GraphSAGE

Graph Convolution Network-GCN

Graph Attention Network-GAT

普通的空间方法框架-MoNet

图卷积谱方法和空间方法的关系

谱方法是空间方法的特例

图的卷积核

信号变换的过程

改进切比雪夫方法

方法对比

图池化（Graph Pooling）

图粗化（Graph coarsening）

节点选择（Node selection）