目录
有向图
有向图API设计
有向图的实现
拓扑排序
拓扑排序
检测有向图中的环
基于深度优先的顶点排序
有向图
有向图的定义及相关术语
定义∶
有向图是一副具有方向性的图，是由一组顶点和一组有方向的边组成的，每条方向的边都连着
一对有序的顶点。
出度∶
由某个顶点指出的边的个数称为该顶点的出度。
入度:
指向某个顶点的边的个数称为该顶点的入度。
有向路径︰
由一系列顶点组成，对于其中的每个顶点都存在一条有向边，从它指向序列中的下一个顶点。
有向环∶
—条至少含有一条边，且起点和终点相同的有向路径。
一副有向图中两个顶点v和w可能存在以下四种关系:
1.没有边相连;
⒉存在从v到w的边v—>w;
3.存在从w到v的边w—>V;
4.既存在w到v的边，也存在v到w的边，即双向连接;
理解有向图是一件比较简单的，但如果要通过眼睛看出复杂有向图中的路径就不是那么容易了。
有向图API设计
在api中设计了一个反向图，其因为有向图的实现中，用adj方法获取出来的是由当前顶点v指向的其他顶点，如果能得到其反向图，就可以很容易得到指向v的其他顶点。
有向图的实现
// 有向图
public class Digraph {
// 记录顶点的数量
private final int V;
//记录边的数量
private int E;
//定义有向图的邻接表
private Queue <Integer>[] adj;
public Digraph (int v) {
//初始化顶点数量
this.V = v;
//初始化边的数量
this.E = 0;
//初始化邻接表
adj = new LinkedList[v];
//初始化邻接表的空队列
for (int i = 0; i < v; i++) {
adj[i] = new LinkedList<>();
}
}
public int V () {
return V;
}
public int E () {
return E;
}
//添加一条 v -> w的有向边
public void addEage (int v , int w) {
adj[v].add(w);
++E;
}
//获取顶点v 指向的 所有顶点
public Queue<Integer> adj (int v) {
return adj[v];
}
//将有向图 反转 后返回
public Digraph reverse () {
//创建一个反向图
Digraph reverseDigraph = new Digraph(V);
//获取原来有向图的每个结点
for (int i = 0; i < V; i++) {
//获取每个结点 邻接表的所有结点
for (Integer w : adj[i]) {
//反转图记录下 w -> v
reverseDigraph.adj(w).add(i);
}
}
return reverseDigraph;
}
}拓扑排序
在现实生活中，我们经常会同一时间接到很多任务去完成，但是这些任务的完成是有先后次序的。以我们学习java学科为例，我们需要学习很多知识，但是这些知识在学习的过程中是需要按照先后次序来完成的。从java基础，到jsp/servlet，到ssm，到springboot等是个循序渐进且有依赖的过程。在学习jsp前要首先掌握java基础和html基础，学习ssm框架前要掌握jsp/servlet之类才行。
为了简化问题，我们使用整数为顶点编号的标准模型来表示这个案例:
此时如果某个同学要学习这些课程，就需要指定出一个学习的方案，我们只需要对图中的顶点进行排序，让它转换为一个线性序列，就可以解决问题，这时就需要用到一种叫拓扑排序的算法。
拓扑排序
给定一副有向图，将所有的顶点排序，使得所有的有向边均从排在前面的元素指向排在后面的元素，此时就可以明确的表示出每个顶点的优先级。下列是一副拓扑排序后的示意图︰
检测有向图中的环
如果学习x课程前必须先学习y课程，学习y课程前必须先学习z课程，学习z课程前必须先学习x课程，那么一定是有问题了，我们就没有办法学习了，因为这三个条件没有办法同时满足。其实这三门课程x、y、z的条件组成了一个环︰
因此，如果我们要使用拓扑排序解决优先级问题，首先得保证图中没有环的存在。
检测有向环的API设计
检测有向环实现
在API中添加了onStack[]布尔数组，索引为图的顶点，当我们深度搜索时︰
1.在如果当前顶点正在搜索，则把对应的onStack数组中的值改为true，标识进栈;
2.如果当前顶点搜索完毕，则把对应的onStack数组中的值改为false，标识出栈;
3.如果即将要搜索某个顶点，但该顶点已经在栈中，则图中有环;
代码
/**
* 检查图中是否存在环
*/
public class DirectedCycle {
/**
* 索引代表顶点，用来记录顶点是否被搜索过
*/
private boolean[] marked;
/**
* 判断图中是否有环
*/
private boolean hasCycle;
/**
* 采用栈的思想，记录当前顶点是否已经存在 当前搜索的的路径上
* 存在则可以判断 图中是存在环的
*/
private boolean[] onStack;
/**
* 判断传入的有向图 是否存在环
* @param G
*/
public DirectedCycle (Digraph G) {
marked = new boolean[G.V()];
onStack = new boolean[G.V()];
hasCycle = false;
//因为不知道从那个点出发 可能存在环
//所以需要从所有的顶点都出发搜索 判断是否存在环
for (int i = 0; i < G.V(); i++) {
dfs(G,i);
}
}
/**
* 采用深度搜索 判断有向图是否存在环
* onStack 入栈出栈 然后判断当前搜索的顶点是否已经在搜索路径上
*
* @param G
* @param v
*/
private void dfs (Digraph G,int v) {
//标记顶点已经搜索过
marked[v] = true;
for (Integer adj : G.adj(v)) {
//判断v 是否已经在搜索的路径上了
if(marked[adj] && onStack[adj]) {
//存在环
hasCycle = true;
}else {
//采用回溯的思路
//让顶点入栈
onStack[adj] = true;
dfs(G,adj);
//回溯 顶点出栈
onStack[adj] = false;
}
}
}
/**
* 判断是否存在环
* @return
*/
public boolean hasCycle(){
return hasCycle;
}
}基于深度优先的顶点排序
如果要把图中的顶点生成线性序列其实是一件非常简单的事，之前我们学习并使用了多次深度优先搜索，我们会发现其实深度优先搜索有一个特点，那就是在一个连通子图上，每个顶点只会被搜索一次，如果我们能在深度优先搜索的基础上，添加一行代码，只需要将搜索的顶点放入到线性序列的数据结构中，我们就能完成这件事。
顶点排序API设计
顶点排序实现
在API的设计中，我们添加了一个栈reversePost用来存储顶点，当我们深度搜索图时，每搜索完毕一个顶点，把该顶点放入到reversePost中，这样就可以实现顶点排序。
代码:
/**
* 深度优先搜索 的顶点排序
*/
public class DepthFirstOrder {
/**
* 索引代表顶点 ，用来记录顶点是否已经被搜索过了
*/
private boolean[] marked;
/**
* 使用栈记录深度优先搜索下的顶点
*/
private Stack<Integer> reversePost;
public DepthFirstOrder (Digraph G) {
marked = new boolean[G.V()];
reversePost = new Stack<>();
for (int i = 0; i < G.V(); i++) {
//如果顶点已经被搜索过则不用
if(!marked[i])
dfs(G,i);
}
}
/**
* 基于深度优先搜索，生成顶点线性序列
* @param G
* @param v
*/
private void dfs (Digraph G, int v) {
//标记顶点已经被搜索过
marked[v] = true;
for (Integer w : G.adj(v)) {
if(!marked[w])
dfs(G,w);
}
//记录到线性序列中
reversePost.push(v);
}
/**
* 获取顶点线性序列
* @return
*/
private Stack<Integer> ReversePost() {
return reversePost;
}
}
