上一篇文章介绍了矩阵量化的基本原理，并推广到卷积网络中。这一章开始，我会逐步深入到卷积网络的量化细节中，并用 pytorch 从零搭建一个量化模型，帮助读者实际感受量化的具体流程。
本章中，我们来具体学习最简单的量化方法——后训练量化「post training quantization」
由于本人接触量化不久，如表述有错，欢迎指正。
卷积层量化
卷积网络最核心的要素是卷积，前文虽然有提及卷积运算的量化，但省略了很多细节，本文继续深入卷积层的量化。
这里我们继续沿用之前的公式，用 \(S\)、\(Z\) 表示 scale 和 zero point，\(r\) 表示浮点实数，\(q\)
假设卷积的权重 weight 为 \(w\)，bias 为 \(b\)，输入为 \(x\)，输出的激活值为 \(a\)。由于卷积本质上就是矩阵运算，因此可以表示成:
\[a=\sum_{i}^N w_i x_i+b \tag{1} \]
由此得到量化的公式:
\[S_a (q_a-Z_a)=\sum_{i}^N S_w(q_w-Z_w)S_x(q_x-Z_x)+S_b(q_b-Z_b) \tag{2} \]
\[q_a=\frac{S_w S_x}{S_a}\sum_{i}^N (q_w-Z_w)(q_x-Z_x)+\frac{S_b}{S_a}(q_b-Z_b)+Z_a \tag{3} \]
这里面非整数的部分就只有 \(\frac{S_w S_x}{S_a}\)、\(\frac{S_b}{S_a}\)，因此接下来就是把这部分也变成定点运算。
对于 bias，由于 \(\sum_{i}^N (q_w-Z_w)(q_x-Z_x)\) 的结果通常会用 int32 的整数存储，因此 bias 通常也量化到 int32。这里我们可以直接用 \(S_w S_x\) 来代替 \(S_b\)，由于 \(S_w\)、\(S_x\) 都是对应 8 个 bit 的缩放比例，因此 \(S_w S_x\) 最多就放缩到 16 个 bit，用 32bit 来存放 bias 绰绰有余，而 \(Z_b\)
因此，公式 (3) 再次调整为:
\[\begin{align} q_a&=\frac{S_w S_x}{S_a}(\sum_{i}^N(q_w-Z_w)(q_x-Z_x)+q_b)+Z_a \notag \\ &=M(\sum_{i}^N q_wq_x-\sum_i^N q_wZ_x-\sum_i^N q_xZ_w+\sum_i^NZ_wZ_x+q_b)+Z_a \tag{4} \end{align} \]
其中，\(M=\frac{S_w S_x}{S_a}\)。
根据上一篇文章的介绍，\(M\) 可以通过一个定点小数加上 bit shift 来实现，因此公式 (4) 完全可以通过定点运算进行计算。由于 \(Z_w\)、\(q_w\)、\(Z_x\)、\(q_b\) 都是可以事先计算的，因此 \(\sum_i^N q_wZ_x\)、\(\sum_i^NZ_wZ_x+q_b\) 也可以事先计算好，实际 inference 的时候，只需要计算 \(\sum_{i}^N q_wq_x\) 和 \(\sum_i^N q_xZ_w\)
卷积网络量化流程
了解完整个卷积层的量化，现在我们再来完整过一遍卷积网络的量化流程。
我们继续沿用前文的小网络：
其中，\(x\)、\(y\) 表示输入和输出，\(a_1\)、\(a_2\) 是网络中间的 feature map，\(q_x\) 表示 \(x\) 量化后的定点数，\(q_{a1}\)
在后训练量化中，我们需要一些样本来统计 \(x\)、\(a_1\)、\(a_2\) 以及 \(y\)
本文中，我们先采用最简单的量化方式，即统计 min、max 后，按照线性量化公式:
\[S = \frac{r_{max}-r_{min}}{q_{max}-q_{min}} \tag{5} \]
\[Z = round(q_{max} - \frac{r_{max}}{S}) \tag{6} \]
来计算 scale 和 zero point。
需要注意的是，除了第一个 conv 需要统计输入 \(x\) 的 min、max 外，其他层都只需要统计中间输出 feature 的 min、max 即可。另外，对于 relu、maxpooling 这类激活函数来说，它们会沿用上一层输出的 min、max，不需要额外统计，即上图中 \(a_1\)、\(a_2\)
因此，在最简单的后训练量化算法中，我们会先按照正常的 forward 流程跑一些数据，在这个过程中，统计输入输出以及中间 feature map 的 min、max。等统计得差不多了，我们就可以根据 min、max 来计算 scale 和 zero point，然后根据公式 (4) 中的，对一些数据项提前计算。
之后，在 inference 的时候，我们会先把输入 \(x\) 量化成定点整数 \(q_x\)，然后按照公式 (4) 计算卷积的输出 \(q_{a1}\)，这个结果依然是整型的，然后继续计算 relu 的输出 \(q_{a2}\)。对于 fc 层来说，它本质上也是矩阵运算，因此也可以用公式 (4) 计算，然后得到 \(q_y\)。最后，根据 fc 层已经计算出来的 scale 和 zero point，推算回浮点实数 \(y\)。除了输入输出的量化和反量化操作，其他流程完全可以用定点运算来完成。
pytorch实现
有了上面的铺垫，现在开始用 pytorch 从零搭建量化模型。
下文的代码都可以在 https://github.com/Jermmy/pytorch-quantization-demo 上找到。
基础量化函数
首先，我们需要把量化的基本公式，也就是公式 (5)(6) 先实现：
def calcScaleZeroPoint(min_val, max_val, num_bits=8):
qmin = 0.
qmax = 2. ** num_bits - 1.
scale = float((max_val - min_val) / (qmax - qmin)) # S=(rmax-rmin)/(qmax-qmin)
zero_point = qmax - max_val / scale # Z=round(qmax-rmax/scale)
if zero_point < qmin:
zero_point = qmin
elif zero_point > qmax:
zero_point = qmax
zero_point = int(zero_point)
return scale, zero_point
def quantize_tensor(x, scale, zero_point, num_bits=8, signed=False):
if signed:
qmin = - 2. ** (num_bits - 1)
qmax = 2. ** (num_bits - 1) - 1
else:
qmin = 0.
qmax = 2.**num_bits - 1.
q_x = zero_point + x / scale
q_x.clamp_(qmin, qmax).round_() # q=round(r/S+Z)
return q_x.float() # 由于pytorch不支持int类型的运算，因此我们还是用float来表示整数
def dequantize_tensor(q_x, scale, zero_point):
return scale * (q_x - zero_point) # r=S(q-Z)前面提到，在后训练量化过程中，需要先统计样本以及中间层的 min、max，同时也频繁涉及到一些量化、反量化操作，因此我们可以把这些功能都封装成一个 QParam 类：
class QParam:
def __init__(self, num_bits=8):
self.num_bits = num_bits
self.scale = None
self.zero_point = None
self.min = None
self.max = None
def update(self, tensor):
if self.max is None or self.max < tensor.max():
self.max = tensor.max()
if self.min is None or self.min > tensor.min():
self.min = tensor.min()
self.scale, self.zero_point = calcScaleZeroPoint(self.min, self.max, self.num_bits)
def quantize_tensor(self, tensor):
return quantize_tensor(tensor, self.scale, self.zero_point, num_bits=self.num_bits)
def dequantize_tensor(self, q_x):
return dequantize_tensor(q_x, self.scale, self.zero_point)上面的 update 函数就是用来统计 min、max 的。
量化网络模块
下面要来实现一些最基本网络模块的量化形式，包括 conv、relu、maxpooling 以及 fc 层。
首先我们定义一个量化基类，这样可以减少一些重复代码，也能让代码结构更加清晰：
class QModule(nn.Module):
def __init__(self, qi=True, qo=True, num_bits=8):
super(QModule, self).__init__()
if qi:
self.qi = QParam(num_bits=num_bits)
if qo:
self.qo = QParam(num_bits=num_bits)
def freeze(self):
pass
def quantize_inference(self, x):
raise NotImplementedError('quantize_inference should be implemented.')这个基类规定了每个量化模块都需要提供的方法。
首先是 __init__ 函数，除了指定量化的位数外，还需指定是否提供量化输入 (qi) 及输出参数 (qo)。在前面也提到，不是每一个网络模块都需要统计输入的 min、max，大部分中间层都是用上一层的 qo 来作为自己的 qi 的，另外有些中间层的激活函数也是直接用上一层的 qi 来作为自己的 qi 和 qo。
其次是 freeze 函数，这个函数会在统计完 min、max 后发挥作用。正如上文所说的，公式 (4) 中有很多项是可以提前计算好的，freeze 就是把这些项提前固定下来，同时也将网络的权重由浮点实数转化为定点整数。
最后是 quantize_inference，这个函数主要是量化 inference 的时候会使用。实际 inference 的时候和正常的 forward 会有一些差异，可以根据之后的代码体会一下。
下面重点看量化卷积层的实现：
class QConv2d(QModule):
def __init__(self, conv_module, qi=True, qo=True, num_bits=8):
super(QConv2d, self).__init__(qi=qi, qo=qo, num_bits=num_bits)
self.num_bits = num_bits
self.conv_module = conv_module
self.qw = QParam(num_bits=num_bits)
def freeze(self, qi=None, qo=None):
if hasattr(self, 'qi') and qi is not None:
raise ValueError('qi has been provided in init function.')
if not hasattr(self, 'qi') and qi is None:
raise ValueError('qi is not existed, should be provided.')
if hasattr(self, 'qo') and qo is not None:
raise ValueError('qo has been provided in init function.')
if not hasattr(self, 'qo') and qo is None:
raise ValueError('qo is not existed, should be provided.')
if qi is not None:
self.qi = qi
if qo is not None:
self.qo = qo
self.M = self.qw.scale * self.qi.scale / self.qo.scale
self.conv_module.weight.data = self.qw.quantize_tensor(self.conv_module.weight.data)
self.conv_module.weight.data = self.conv_module.weight.data - self.qw.zero_point
self.conv_module.bias.data = quantize_tensor(self.conv_module.bias.data, scale=self.qi.scale * self.qw.scale, zero_point=0, signed=True)
def forward(self, x):
if hasattr(self, 'qi'):
self.qi.update(x)
self.qw.update(self.conv_module.weight.data)
self.conv_module.weight.data = self.qw.quantize_tensor(self.conv_module.weight.data)
self.conv_module.weight.data = self.qw.dequantize_tensor(self.conv_module.weight.data)
x = self.conv_module(x)
if hasattr(self, 'qo'):
self.qo.update(x)
return x
def quantize_inference(self, x):
x = x - self.qi.zero_point
x = self.fc_module(x)
x = self.M * x + self.qo.zero_point
return x这个类基本涵盖了最精华的部分。
首先是 __init__ 函数，可以看到我传入了一个 conv_module 模块，这个模块对应全精度的卷积层，另外的 qw 参数则是用来统计 weight 的 min、max 以及对 weight 进行量化用的。
其次是 freeze 函数，这个函数主要就是计算公式 (4) 中的 \(M\)、\(q_w\) 以及 \(q_b\)。由于完全实现公式 (4) 的加速效果需要更底层代码的支持，因此在 pytorch 中我用了更简单的实现方式，即优化前的公式 (4):
\[q_a=M(\sum_{i}^N(q_w-Z_w)(q_x-Z_x)+q_b)+Z_a \tag{7} \]
这里的 \(M\)
注意到 freeze 函数可能会传入 qi 或者 qo，这也是之前提到的，有些中间的模块不会有自己的 qi，而是复用之前层的 qo 作为自己的 qi。
接着是 forward 函数，这个函数和正常的 forward 一样，也是在 float 上进行的，只不过需要统计输入输出以及 weight 的 min、max 而已。有读者可能会疑惑为什么需要对 weight 量化到 int8 然后又反量化回 float，这里其实就是所谓的伪量化节点，因为我们在实际量化 inference 的时候会把 weight 量化到 int8，这个过程本身是有精度损失的 (来自四舍五入的 round 带来的截断误差)，所以在统计 min、max 的时候，需要把这个过程带来的误差也模拟进去。
最后是 quantize_inference 函数，这个函数在实际 inference 的时候会被调用，对应的就是上面的公式 (7)。注意，这个函数里面的卷积操作是在 int 上进行的，这是量化推理加速的关键「当然，由于 pytorch 的限制，我们仍然是在 float 上计算，只不过数值都是整数。这也可以看出量化推理是跟底层实现紧密结合的技术」。
理解 QConv2d 后，其他模块基本上异曲同工，这里不再赘述。
完整的量化网络
我们定义一个简单的卷积网络：
class Net(nn.Module):
def __init__(self, num_channels=1):
super(Net, self).__init__()
self.conv1 = nn.Conv2d(num_channels, 40, 3, 1)
self.conv2 = nn.Conv2d(40, 40, 3, 1, groups=20) # 这里用分组网络，可以增大量化带来的误差
self.fc = nn.Linear(5*5*40, 10)
def forward(self, x):
x = F.relu(self.conv1(x))
x = F.max_pool2d(x, 2, 2)
x = F.relu(self.conv2(x))
x = F.max_pool2d(x, 2, 2)
x = x.view(-1, 5*5*40)
x = self.fc(x)
return x接下来就是把这个网络的每个模块进行量化，我们单独定义一个 quantize 函数来逐个量化每个模块：
class Net(nn.Module):
def quantize(self, num_bits=8):
self.qconv1 = QConv2d(self.conv1, qi=True, qo=True, num_bits=num_bits)
self.qrelu1 = QReLU()
self.qmaxpool2d_1 = QMaxPooling2d(kernel_size=2, stride=2, padding=0)
self.qconv2 = QConv2d(self.conv2, qi=False, qo=True, num_bits=num_bits)
self.qrelu2 = QReLU()
self.qmaxpool2d_2 = QMaxPooling2d(kernel_size=2, stride=2, padding=0)
self.qfc = QLinear(self.fc, qi=False, qo=True, num_bits=num_bits)注意，这里只有第一层的 conv 需要 qi，后面的模块基本是复用前面层的 qo 作为当前层的 qi。
接着定义一个 quantize_forward 函数来统计 min、max，同时模拟量化误差：
class Net(nn.Module):
def quantize_forward(self, x):
x = self.qconv1(x)
x = self.qrelu1(x)
x = self.qmaxpool2d_1(x)
x = self.qconv2(x)
x = self.qrelu2(x)
x = self.qmaxpool2d_2(x)
x = x.view(-1, 5*5*40)
x = self.qfc(x)
return x下面的 freeze 函数会在统计完 min、max 后对一些变量进行固化：
class Net(nn.Module):
def freeze(self):
self.qconv1.freeze()
self.qrelu1.freeze(self.qconv1.qo)
self.qmaxpool2d_1.freeze(self.qconv1.qo)
self.qconv2.freeze(qi=self.qconv1.qo)
self.qrelu2.freeze(self.qconv2.qo)
self.qmaxpool2d_2.freeze(self.qconv2.qo)
self.qfc.freeze(qi=self.qconv2.qo)由于我们在量化网络的时候，有些模块是没有定义 qi 的，因此这里需要传入前面层的 qo 作为当前层的 qi。
最后是 quantize_inference 函数，就是实际 inference 的时候用到的函数：
class Net(nn.Module):
def quantize_inference(self, x):
qx = self.qconv1.qi.quantize_tensor(x)
qx = self.qconv1.quantize_inference(qx)
qx = self.qrelu1.quantize_inference(qx)
qx = self.qmaxpool2d_1.quantize_inference(qx)
qx = self.qconv2.quantize_inference(qx)
qx = self.qrelu2.quantize_inference(qx)
qx = self.qmaxpool2d_2.quantize_inference(qx)
qx = qx.view(-1, 5*5*40)
qx = self.qfc.quantize_inference(qx)
out = self.qfc.qo.dequantize_tensor(qx)
return out这里我们会将输入 x 先量化到 int8，然后就是全量化的定点运算，得到最后一层的输出后，再反量化回 float 即可。
训练全精度网络
这一部分代码在 train.py 中，我们用 mnist 数据集来训练上面的网络：
device = torch.device('cuda' if torch.cuda.is_available() else 'cpu')
train_loader = torch.utils.data.DataLoader(
datasets.MNIST('data', train=True, download=True,
transform=transforms.Compose([
transforms.ToTensor(),
transforms.Normalize((0.1307,), (0.3081,))
])),
batch_size=batch_size, shuffle=True, num_workers=1, pin_memory=True
)
test_loader = torch.utils.data.DataLoader(
datasets.MNIST('data', train=False, transform=transforms.Compose([
transforms.ToTensor(),
transforms.Normalize((0.1307,), (0.3081,))
])),
batch_size=test_batch_size, shuffle=True, num_workers=1, pin_memory=True
)
model = Net().to(device)具体训练细节比较简单，这里不再赘述。
训练完成后，我测试得到的准确率在 98% 左右。
后训练量化
这一部分代码在 post_training_quantize.py 中。
我们先加载全精度模型的参数：
model = Net()
model.load_state_dict(torch.load('ckpt/mnist_cnn.pt'))然后对网络进行量化：
model.quantize(num_bits=8)接下来就是用一些训练数据来估计 min、max：
def direct_quantize(model, test_loader):
for i, (data, target) in enumerate(test_loader, 1):
output = model.quantize_forward(data)
if i % 200 == 0:
break
print('direct quantization finish')简单起见，我们就跑 200 个迭代。
然后，我们把量化参数都固定下来，并进行全量化推理：
model.freeze()
def quantize_inference(model, test_loader):
correct = 0
for i, (data, target) in enumerate(test_loader, 1):
output = model.quantize_inference(data)
pred = output.argmax(dim=1, keepdim=True)
correct += pred.eq(target.view_as(pred)).sum().item()
print('\nTest set: Quant Model Accuracy: {:.0f}%\n'.format(100. * correct / len(test_loader.dataset)))
quantize_inference(model, test_loader)由于很多细节都封装在量化网络的模块中了，因此外部调用的代码跟全精度模型其实很类似。
我自己测试了 bit 数为 1～8 的准确率，得到下面这张折线图：
发现，当 bit >= 3 的时候，精度几乎不会掉，bit = 2 的时候精度下降到 69%，bit = 1 的时候则下降到 10%。
这一方面是 mnist 分类任务比较简单，但也说明神经网络中的冗余量其实非常大，所以量化在分类网络中普遍有不错的效果「不过 bit =3 或 4 的时候效果依然这么好，让我依稀觉得代码里面应该有 bug，后续还要反复检查」。
总结
这篇文章主要补充了卷积层量化的细节，包括 bias 的量化，以及实际 inference 时一些优化的操作。并梳理了完整的卷积网络量化的流程。然后重点用 pytorch 从零搭建一个量化模型来帮助大家理解其中的细节，以及后训练量化算法的过程。代码是参考了这篇文章，加上自己拍脑袋构思的，存在很多不足之处，而且应该有不少 bug 存在，也欢迎大家指正。
之后的文章将继续讲述量化感知训练的流程，并补充其他量化的细节「例如 conv+relu 的合并等」，感谢大家赏脸关注。
参考
- How to Quantize an MNIST network to 8 bits in Pytorch from scratch (No retraining required)
- Quantization and Training of Neural Networks for Efficient Integer-Arithmetic-Only Inference
