击鼓传花：动态规划问题

题目描述

　　学校联欢晚会的时候，为了使每一个同学都能参与进来，主持人常常会带着同学们玩击鼓传花的游戏。游戏规则是这样的：n个同学坐着围成一个圆圈，指定一个同学手里拿着一束花，主持人在旁边背对着大家开始击鼓，鼓声开始之后拿着花的同学开始传花，每个同学都可以把花传给自己左右的两个同学中的一个（左右任意），当主持人停止击鼓时，传花停止，此时，正拿着花没传出去的那个同学就要给大家表演一个节目。

　　聪明的小赛提出一个有趣的问题：有多少种不同的方法可以使得从小赛手里开始传的花，传了m次以后，又回到小赛手里。对于传递的方法当且仅当这两种方法中，接到花的同学按接球顺序组成的序列是不同的，才视作两种传花的方法不同。比如有3个同学1号、2号、3号，并假设小赛为1号，花传了3次回到小赛手里的方式有1->2->3->1和1->3->2->1，共2种。

输入

输入共一行，有两个用空格隔开的整数n，m（3<=n<=30，1<=m<=30）
样例输入
3 3

输出

输出共一行，有一个整数，表示符合题意的方法数
样例输出
2

　每个同学都可以把花传给自己左右的两个同学中的一个（左右任意）;

　　假设同学编号为 1,2,3,4，5…i…n

　　正向思考：

  • 第0次，1同学持有花，准备开始抛花。
  • 第1次，同学2接到花 OR 同学n接到花。

　　反向思考：

  • 第1个同学，可以收到第2个同学或者第n个同学的花。
  • 第 i 个同学，可以收到第(i-1)个同学或者第(i+1)个同学的花。
  • 第n个同学，可以收到第1个同学或者第(n-1)个同学的花。

　　总结：

  • 第 i 次 j 接到花 = 第 i-1 次（ j-1）接到花 + 第 i-1 次（ j+1）接到花
  • d[i][j] = d[(i-1)][(j-1)%n]+d[(i-1)][(j+1)%n] （为了很好的处理首尾两个元素使得环成立，这个公式得根据具体设置的数组进行调整）
  • dp[i][j] 表示从初始节点走 i 步到达节点 j 所有的方法数

初始化:

d[0][1]=0,也就是还没有送给其他人的时候

d[1][2]=1,向右传

d[1][n]=1,向左传

代码如下:

package Test;

import java.util.Scanner;

public class Test13 {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int n=sc.nextInt();
        int m=sc.nextInt();
        int[][]dp=new int[m+1][n];//要从0步一直计算到m步，所以要是m+1长度
        dp[0][0]=1;
        /*
        下面这两个不给也行，能自己算出来
        dp[1][1]=1;
        dp[1][n-1]=1;*/
        for(int i=1;i<m+1;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
                dp[i][j]=dp[(i-1)][(j+n-1)%n]+dp[i-1][(j+1)%n];
            }
        }
        System.out.println(dp[m][0]);
    }
}