背包问题是对于一个有限制的容器，一般计算可以装的物品的价值最值或数量。通常每个物品都有两个属性空间和价值，有时还有数量或别的限制条件，这个因体而异。
背包大概分成3部分，下面会细述这最经典的3种题型
1.01背包
这是背包中最经典的问题，也是下面两个问题的基础，01背包顾名思义，每种物品要么取，要么不取，也就是1或0。
看下例题Luogu P1164 小A点菜
题目背景
uim神犇拿到了uoi的ra（镭牌）后，立刻拉着基友小A到了一家……餐馆，很低端的那种。uim指着墙上的价目表（太低级了没有菜单），说：“随便点”。
题目描述
不过uim由于买了一些辅（e）辅（ro）书，口袋里只剩 MM 元\((M \le 10000)\) 。
餐馆虽低端，但是菜品种类不少，有 N 种 $(N \le 100) \(，第\)i$种卖 \(a_i\)元 \((a_i \le 1000)\) 。由于是很低端的餐馆，所以每种菜只有一份。小A奉行“不把钱吃光不罢休”，所以他点单一定刚好吧uim身上所有钱花完。他想知道有多少种点菜方法。由于小A肚子太饿，所以最多只能等待 11 秒。
输入输出格式
输入格式：
第一行是两个数字，表示 NN 和 MM 。
第二行起 NN 个正数 a_ia
i
（可以有相同的数字，每个数字均在 10001000 以内）。
输出格式：
一个正整数，表示点菜方案数，保证答案的范围在 intint 之内。
输入输出样例
输入样例#1：
4 4
1 1 2 2
输出样例#1：
3
分析：
这题其实不能算是正宗的dp，只可以算是一个递推吧。我们可以很容易就get到一个递推式
\[dp[j]=\sum_{i=1}^{n}dp[j-a[i]] \]
又因为这是01背包所以我们就可以很容易得到代码
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,dp[1001],a[1001];
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
}
dp[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=m;j>=a[i];j--){
dp[j]+=dp[j-a[i]];
}
}
printf("%d",dp[m]);
return 0;
}2.完全背包
完全背包相比01背包其实就是代码把循环反过来就是了，我们可以轻而易举的由01背包得到完全背包的解法
这里必须得看一道说是第二经典没有题可以说是最经典的题的改版
Luogu P1616 疯狂的采药
题目描述
LiYuxiang是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同种类的草药，采每一种都需要一些时间，每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是LiYuxiang，你能完成这个任务吗？
此题和原题的不同点：
1.每种草药可以无限制地疯狂采摘。
2.药的种类眼花缭乱，采药时间好长好长啊！师傅等得菊花都谢了！
输入输出格式
输入格式：
输入第一行有两个整数T（1 <= T <= 100000）和M（1 <= M <= 10000），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到10000之间（包括1和10000）的整数，分别表示采摘某种草药的时间和这种草药的价值。
输出格式：
输出一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。
输入输出样例
输入样例#1：
70 3
71 100
69 1
1 2
输出样例#1：
140
分析：
其实就是十分简单的dp思路，dp[i]表示容量<=i时的最大值
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,dp[200001],a[10001],b[10001];
int main(){
scanf("%d%d",&m,&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=0;j<=m;j++){
dp[j+a[i]]=max(dp[j+a[i]],dp[j]+b[i]);
}
}
printf("%d",dp[m]);
return 0;
}3.多重背包
这个其实就是背包里最难的了，其实就是多了个数量的参数
来看下例题，比较经典的 Luogu P1616 疯狂的采药
题目描述
辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？
输入输出格式
输入格式：
第一行有 22 个整数 T(1 \le T \le 1000)T(1≤T≤1000) 和 M(1 \le M \le 100)M(1≤M≤100) ，用一个空格隔开， TT 代表总共能够用来采药的时间， MM 代表山洞里的草药的数目。
接下来的 MM 行每行包括两个在 11 到 100100 之间（包括 11 和 100100 ）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
输出格式：
11 个整数，表示在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。
输入输出样例
输入样例#1：
70 3
71 100
69 1
1 2
输出样例#1：
3
说明
对于30%的数据， M \le 10M≤10 ；
对于全部的数据， M \le 100M≤100 。
NOIP2005普及组第三题
分析：
我们在上面两种问题的基础上再加上一个循环枚举个数，实际上我们就可以十分轻易的得到答案
代码：
远古代码，有点丑
#include<iostream>
using namespace std;
struct medic{
int mo,ti;
};
int t,m,f[1001];
medic a[105];
int main(){
int i,j;
cin>>t>>m;
for(i=1;i<=m;++i)cin>>a[i].ti>>a[i].mo;
for(i=1;i<=m;++i){
for(j=t;j>=a[i].ti;--j){
f[j]=max(f[j],f[j-a[i].ti]+a[i].mo);
}
}
cout<<f[t];
}
