改“斜”归“正”策略在坐标系中的应用极其广泛，可以达到化斜为直之效，是一种重要的转化思想.它可以将各种“斜”元素转化为“直”元素，如“斜”线段到“直”线段、“斜”距离到“直”距离、“斜”比到“直”比、“斜”角到“直”角、“斜”三角形到“直”三角形、“斜”正方形到“直”正方形、“斜”面积到“直”面积、“斜”运动到“直”运动等，下面笔者将依次举例说明.
(一)两点间距离公式及其应用(含等腰三角形、直角三角形等存在性问题解题策略)
“在平面直角坐标系中，已知两点的坐标，求这两点间的距离”是改“斜”归“正”策略最简单的应用.
应用一：等腰三角形存在性问题的代数解法
例题：如图1，已知点A(3,0)，B(0,4)，在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，求点C的坐标.
简析：此类等腰三角形存在性问题可以借助两点间距离公式，实现盲解盲算，具体如下：
由于动点C在坐标轴上，本题需先分两大类，即点C在x轴上或点C在y轴上.
情形一：当点C在x轴上时，
第一步：写出或设出三角形三个顶点的坐标；
由题可知A(3,0)，B(0,4)，设C(t，0)；坐标已有，万事俱备，只欠计算；
解后反思：上述代数解法的最大优势是实现了盲解忙算，只要写出或设出三个顶点的坐标，后续只剩相关计算而已，但最后必须要进行取舍，养成解后检验或验算的好习惯.
值得一提的是，若需精准作图，可以利用所谓“两圆一线法”找到C点所有的位置，如图1－1所示.
所谓“两圆”，分别以点A、B为圆心，线段AB的长为半径作圆，其对应以AB为腰的两种情形.
所谓“一线”，就是这两圆交点的连线，即为线段AB的垂直平分线，其对应以AB为底的一种情形.
然后寻找这“两圆一线”与动点所在路径的交点即可，本题即为与坐标轴的交点，去掉不符合条件的点A、B，共计有八个点C.
代数解法实现盲解忙算，“两圆一线”实现精准定位，两者各有优势，笔者建议都需掌握，以数解形，以形助数，数形结合，百般为好.
本题中，若是将代数解法与“两圆一线法”混合使用，可以先找到点C，口算出部分符合条件的点C，剩下几个不好口算的，再采取盲解忙算也不迟.
有时候，必须使用“两圆一线法”，精准定位，才能解决问题，请看下面的中考真题：
(2016年陕西中考题)如图1－2，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为 ．
简析：此题是等腰三角形存在性问题与最值问题结合的一道难能可贵的好题目.
目标等腰三角形PBC是一个“两定一动”型存在性问题，即有两个定点B和C，只有一个动点P；
终极问题是求PD的最小值，为什么会有最小值？还是因为点D是定点，而点P是动点，肯定要寻找动点P的运动路径；
对于“两定一动”型等腰三角形存在性问题，可以通过“两圆一线法”找到该动点的路径，如图1－3；
又因为题目要求点P是菱形ABCD内部或边上的一点，且与点D不重合，只要将上面的“两圆一线”与这个要求合并就可以找到动点P的真正路径了，如图1－4所示的菱形ABCD内部的实粗线以及点A；
练习1：如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0, m)是线段OC上一动点(C点除外)，直线PM交AB的延长线于点D．当△APD是等腰三角形时，求m的值．
练习3： 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．
练习3温馨提示：此菱形问题可转化为等腰△OAC的存在性问题.
应用二：直角三角形存在性问题的代数解法
例题：已知点A(3,0)，B(0,4)，在坐标轴上找一点C，使△ABC为直角三角形，求点C的坐标.
简析：此类直角三角形存在性问题与等腰三角形存在性问题同根同源，解法雷同，均可借助两点间距离公式，实现盲解盲算，具体如下：
由于动点C在坐标轴上，本题仍需先分两大类，即点C在x轴上或点C在y轴上.
情形一：当点C在x轴上时，
第一步：写出或设出三角形三个顶点的坐标；
由题可知A(3,0)，B(0,4)，设C(t，0)；坐标已有，万事俱备，只欠计算；
解后反思：直角三角形存在性问题与等腰三角形存在性问题的代数解法非常相似，只是第三步分类依据发生变化.前者以斜边为标准分三类，利用勾股定理列方程求解；而后者以两腰相等为标准，也分三类列方程计算，如此分析，其解法基本一致.
类似的，若需精准作图，直角三角形存在性问题可以利用所谓“两线一圆法”找到C点所有位置，如图2－1所示.
所谓“两线”，指分别过点A、B作线段AB的垂线，其对应以∠A、∠B为直角的两种情形；
所谓“一圆”，指以AB为直径的圆，其对应以∠C为直角的一种情形；
然后寻找这“两线一圆”与动点所在路径的交点即可，本题即为与坐标轴的交点，去掉不符合条件的点A、B，共计有三个点C.
代数解法实现盲解忙算，“两线一圆”实现精准定位，两者结合才谓百般好.
本题若采用“两线一圆法”，画出图形后，利用相似，即射影定理，可以快速口算答案，不再赘述，请自行思考.
再看下面这道源自2016年陕西中考的改编题：
(本人改编题)如图2－2，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝2，点P是这个菱形外部的一点，若以点P、B、D为顶点的三角形是直角三角形，则P、C两点间的最短距离为 ．
简析：类似地，先利用“两线一圆法”找到动点P的运动路径，如图2－3所示；
动点P的真实路径应该是这所谓“两圆一线”在菱形外部的部分，图中已用粗实线表示出来，空心点表示取不到；
由图显知，当CP与所谓“两线”垂直时取最小值为1，问题得解.
对于这种“两定一动型”的直角三角形存在性问题，都可以采用所谓“两线一圆法”精确定位动点的路径，使抽象问题变得有迹可循，再结合代数解法或者借助相似知识，比如射影定理、构造一线三直角等方法，都可以解决，关键是如何才能做到具体问题具体分析，灵活运用才是王道，这需要自己在解题中体悟，在解题后反思，逐步形成自己的解题风格与套路.
练习2：如图，已知直线y＝kx－6经过点A(1，－4)，与x轴相交于点B．若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．
(二)中点坐标公式及应用(含平行四边形存在性问题解题策略)
“中点即为平均数”：中点是一个重要的几何概念，意指将一条线段恰好平分的点；平均数是一个代数概念，是反映一组数据集中趋势的重要指标.有趣的是，“数形本就不分家”，用平均数去巧记、理解“中点坐标公式”，水到而渠成，自然而大方.
再如：已知点M为线段AB的中点，A点坐标为(2,3)，M点坐标为(－1,4)，求B点坐标.
简析：“已知中点及一点坐标，求另一个点的坐标”，就是“已知平均数及一数，求另一个数”：可以口算，点B的横坐标，纵坐标为，故B坐标为(－4,5).
中点坐标公式的证明过程中，又现“水平－竖直辅助线”，这种辅助线在坐标系中太重要了，是一种常见的改“斜”归正策略，需认真体会并熟练应用.
借助中点坐标公式，可以推出更有趣的平行四边形的四个顶点的坐标模型.
注：这个模型用文字可描述为“平行四边形相对两个顶点的横、纵坐标之和分别相等”，便于记忆与应用.
也可以构造如图5所示的辅助线，同理可证.
注：这两种构造全等的方法，本质上就是平移思想，可称为“平移大法”.由平行四边形ABCD知：点A到点B如何平移，则点D到点C就如何平移，它也是处理平行四边形存在性问题的一大绝招.
至此，我们用了两种方式得到了“平行四边形的顶点坐标模型”，应用此模型可以“通杀”甚至于“盲杀”所有的平行四边形存在性问题，请看以下两道例题：
上述解法最大的优势在于盲解忙算，本题若是依赖作图去寻找各种情况，极其容易发生漏解，得不偿失.
通过前面两道例题的求解，相信同学们已经爱上了这种盲解忙算的技法，它是真正可以通杀几乎所有平行四边形存在性问题的绝对利器，用一次，得永生.下面提供几道题目，供练习巩固之用.
练习1：如图，在平面直角坐标系中，已知点C(0，4)，点A、B在x轴上，并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上，点Q 为直线AC上一点，若以O、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标.
