今天我想跟大家分享一下我对欧拉函数的理解：
1∼N 中与 N 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为ϕ(N)。
若在算数基本定理中，N=p^a1p^a2…pa^m，则：
ϕ(N) = N×(p1−1)/p1×(p2−1)/p2×…×(pm−1)/pm;
求法大概就是这样了，我下面将给出求单个欧拉函数的核心代码
int m=n;
for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
{
if(n%i==0)
m=m*(i-1)/i;
while(n%i==0) n/=i;
}
if(n!=1) m=m*(n-1)/n;有时候我们往往不是只求一个数的欧拉函数，这时候我们就需要像求素数那样预处理出来素数表。
下面引入一道题，代码上将对一些重难点进行解析
给定一个正整数 nn，求 1∼n 中每个数的欧拉函数之和。
输入格式
共一行，包含一个整数 n。
输出格式
共一行，包含一个整数，表示 1∼n 中每个数的欧拉函数之和。
数据范围
1≤n≤10^6
输入样例：
6输出样例：
12代码分析
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int prime[1000002],o[1000002];
bool vis[1000002];
void init()
{
o[1]=1;
int cnt=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!vis[i])
{
prime[cnt++]=i;
o[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<cnt&&i*prime[j]<=n;j++)
{
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)
{
o[i*prime[j]]=o[i]*prime[j];
break;
}
else
o[i*prime[j]]=o[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
int main()
{
cin>>n;
init();
long long ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
ans+=o[i];
cout<<ans;
return 0;
}以上是求欧拉函数的两个裸模板，下面将给出两个实际的欧拉函数应用实例：
Longge's problem：
题意：数论只会GCD，现在SonG给你一个n很大，他现在想知道1到n的所有数字与n的最大公约数之和。
多组输入
每一组一行一个n (1<n<2^31)
输出一行一个数，表示你的答案
示例
输入
2 6
输出
3 15
我们现在来对这道题目进行分析：
不妨假设（i，n）=p，那么必有（i/p，n/p）=1；即每一个与n/p互质的数都对应着一个i/p，也就是对应着一个i，那么题目将转化为求n/p的欧拉函数与i的乘积和。
下面是具体代码：
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll euler(int x)//求单个函数欧拉函数的基本模板
{
int res=x;
for(int i=2;i<=sqrt(x);i++)
if(x%i==0)
{
res=res/i*(i-1);
while(x%i==0) x/=i;
}
if(x>1)res=res/x*(x-1);
return res;
}
int main()
{
ll n,ans,i;
while(~scanf("%lld",&n))
{
ans=0;
for(i=1;i<sqrt(n);i++)
if(n%i==0)
ans+=i*euler(n/i)+n/i*euler(i);//n=i*(n/i)
if(i*i==n) ans+=i*euler(i);//特判一下平方数的情况
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}下面这个例子将用到筛法预处理出来欧拉函数表
Farey Sequence
题意：众所周知，小涛涛学长是数论的king，artist今天去请教了他一个问题，小涛涛学长读完题目后，觉得太简单了，对artist十分失望，随即离开，只留下一个背影，artist向你求助，你能帮帮她吗？ 有一个数列叫做dxl数列，对任意n，DXLn代表一个包含不可简化（不可约分）的有理分数a/b的序列，满足0 < a < b <= n且gcd(a,b)=1，序列中的分数按照递增顺序排列。 前几个DXLn为：
DXL2 = {1/2}
DXL3 = {1/3, 1/2, 2/3}
DXL4 = {1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4}
DXL5 = {1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5}
给定n，你的任务是计算序列DXLn的大小（即含有多少个分数）。
注意：这道题不支持头文件bits/stdc++.h！
输入：多个测试样例。 每个样例只有一行，是一个正整数n（2<=n<=1e6）。每组样例之间没有空行。样例以一个0为结束，遇到这个0时不需输出。
输出：对每个样例，你需要输出一行，包含N(n)----DXLn数列中元素的个数。
样例：
输入：
2 3 4 5 0
输出：
1 3 5 9
分析：这道题目中要求分子与分母互质，由此我们可以想到用欧拉函数，当分子为n时，分子m必须要满足（m，n）=1，容易知道满足这样条件的分子一共会有ϕ(n)个，那么题意将会转化为求2~n的所有数的欧拉函数和，下面是代码：
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+10;
bool vis[N+10];
ll prime[N+10],phi[N+10],cnt;
void init()
{
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++)
{
if(!vis[i])
{
prime[++cnt]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=N;j++)
{
vis[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j]==0)
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
int main()
{
int n;
init();
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
if(!n) break;
ll ans=0;
for(int i=2;i<=n;i++) ans+=phi[i];
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}总结：一般涉及到互质问题时可能会用到欧拉函数。
