虽然有回归
两个字,但是依然是解决的时分类问题,是最经典的二分类算法。
分类算法有很多,例如支持向量机和神经网络。而逻辑回归算法应用的比较广,往往是优先选择的算法。
Sigmod函数
表达式:
自变量取值为任意实数,值域[0,1]
在线性回归中的结果预测出一个值,将这个值放到这个sigmod中,得到一个输出结果,而这个结果可以表示为概率值。
假设预测函数: ,
其中
假设这是一个二分类任务:
可以将上面的公式进行整合:
上面的公式对于二分类任务(0,1),整合后y取0只保留,y取1只保留
逻辑回归似然函数
对数似然函数为:
而似然函数是要求一个最大值,此时应用梯度上升求最大值,但是一般通过引入转换为梯度下降任务。
其中表示第个特征。最终结果为
其中表示第个样本第个特征。
更新参数
其中表示步长,表示方向,表示综合考虑每一个样本。
多分类softmax
上面都是基于二分类的逻辑回归,而对于一个多分类问题,往往使用softmax算法,公式如下:
python实现最简单的逻辑回归
我们将建立一个逻辑回归模型来预测一个学生是否被大学录取。假设你是一个大学系的管理员,你想根据两次考试的结果来决定每个申请人的录取机会。你有以前的申请人的历史数据,你可以用它作为逻辑回归的训练集。对于每一个培训例子,你有两个考试的申请人的分数和录取决定。为了做到这一点,我们将建立一个分类模型,根据考试成绩估计入学概率。
数据
34.62365962451697,78.0246928153624,0
30.28671076822607,43.89499752400101,0
35.84740876993872,72.90219802708364,0
60.18259938620976,86.30855209546826,1
79.0327360507101,75.3443764369103,1
45.08327747668339,56.3163717815305,0
61.10666453684766,96.51142588489624,1
75.02474556738889,46.55401354116538,1
76.09878670226257,87.42056971926803,1
84.43281996120035,43.53339331072109,1
1.1 引入库
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
查看数据情况:
positive=pdData[pdData['Admitted']==1]
negative=pdData[pdData['Admitted']==0]
fig,ax=plt.subplots(figsize=(10,5))
ax.scatter(positive['Exam 1'], positive['Exam 2'], s=30, c='b', marker='o',label='Admitted')
ax.scatter(negative['Exam 1'], negative['Exam 2'], s=30, c='r', marker='x',label='Not Admitted')
ax.legend()
ax.set_xlabel('Exam 1 score')
ax.set_ylabel('Exam 2 score')
输出结果如下:
2要完成的模块
- sigmod:映射到概率的函数
- model:返回预测结果值
- cost:计算参数损失
- gradient:计算每个参数的梯度方向
- descent:进行参数更新
- accuracy:计算精度
2.1目标
建立分类器,求解出三个参数,其中对应第一个考试成绩,对应第二个考试成绩,对应偏置项。
设置阈值,根据阈值判断录取结果。
2.2 sigmod函数
def sigmod(z):
return 1/(1+np.exp(-1))
举例展示:
nums = np.arange(-10, 10, step=1)
fig,ax=plt.subplots(figsize=(12, 4))
ax.plot(nums,sigmod(nums),'r')
2.3 model
def model(X, theta):
return sigmod(np.dot(X, theta.T)) # 进行矩阵乘法
构造初始化数据:
pdData.insert(0, 'Ones', 1) # 添加列,列名Ones,数据全为1
orig_data = pdData.values # 将DataFrame转为矩阵
cols = orig_data.shape[1] #获取列数量 4
X = orig_data[:,0:cols-1] # 获取第一列、第二列、第三列数据
y = orig_data[:,cols-1:cols] #获取第四列数据
theta = np.zeros([1,3]) # 创建1行3列的零矩阵
查看数据X:
查看标签y:
查看参数:
查看shape:
2.4 损失函数
将上面所讲的对数似然函数取负号,因为要转为梯度下降:
求平均损失:
def cost(X,y,theta):
left=np.multiply(-y, np.log(model(X,theta)))
right=np.multiply(1-y,np.log(1-model(X,theta)))
return np.sum(left - right)/(len(X))
运行损失函数:
cost(X,y,theta)
结果如下:
0.6931471805599453
2.5 计算梯度
根据上面得出的偏导公式:
m表示样本个数,n表示参数个数
def gradient(X,y,theta):
grad = np.zeros(theta.shape) # 当前有三个参数,因此有三个梯度,梯度与theta一一对应
error = (model(X,theta) - y).ravel() # 将负号提到里面
for j in range(len(theta.ravel())): # 3个参数,求三次偏导
term = np.multiply(error, X[:,j])
grad[0,j] = np.sum(term)/len(X)
return grad
这样就获取到三个特征的梯度。
3 批量梯度下降GD、随机梯度下降SGD、小批量梯度下降的各自表现
STOP_ITER=0 # 迭代次数,按照迭代次数停止,
STOP_COST=1 # 损失变化,可以看迭代前的目标函数,和迭代后的目标函数,如果这两次迭代生成的目标函数差异非常小,就可以停止
STOP_GRAD=2 # 梯度变化,梯度如果变化很小,那么可以停止
def stopCriterion(type, value, threshold):
# 设定三种不同的停止策略
if type == STOP_ITER: return value > threshold
elif type == STOP_COST: return abs(value[-1]-value[-2]) < threshold
elif type == STOP_GRAD: return np.linalg.norm(value) < threshold
3.1 数据洗牌
防止数据有一定的规律,让模型的泛化能力能强,对数据进行洗牌,
import numpy.random
#洗牌
def shuffleData(data):
np.random.shuffle(data)
cols = data.shape[1]
X = data[:, 0:cols-1]
y = data[:, cols-1:]
return X,y
3.2 梯度下降
import time
def descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
# data:数据
# theta: 参数
# batchSize=1 表示随机梯度下降,batchSize=总样本数 表示梯度下降,batchSize=(1到总体之间)表示小批量梯度下降
# stopType表示停止策略
# thresh表示停止策略对应的阈值
# alpha表示学习率
# 初始化
init_time = time.time()
i = 0 # 迭代次数
k = 0 # batch
X, y = shuffleData(data)
grad = np.zeros(theta.shape) # 梯度
costs = [cost(X, y, theta)] # 损失值
while True:
grad = gradient(X[k:k+batchSize], y[k:k+batchSize], theta)
k += batchSize # 取batch数量个数据
if k >= n:
k = 0
X, y = shuffleData(data) # 重新洗牌
theta = theta-alpha*grad #更新参数
costs.append(cost(X, y, theta)) # 重新计算新的损失
i += 1
if stopType == STOP_ITER: value = i
elif stopType == STOP_COST: value = costs
elif stopType == STOP_GRAD: value = grad
if stopCriterion(stopType, value, thresh): break
return theta, i-1, costs, grad, time.time() - init_time
3.3 执行梯度下降函数
def runExpe(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
#import pdb; pdb.set_trace();
theta, iter, costs, grad, dur = descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha)
name = "Original" if (data[:,1]>2).sum() > 1 else "Scaled"
name += " data - learning rate: {} - ".format(alpha)
if batchSize==n: strDescType = "Gradient"
elif batchSize==1: strDescType = "Stochastic"
else: strDescType = "Mini-batch ({})".format(batchSize)
name += strDescType + " descent - Stop: "
if stopType == STOP_ITER: strStop = "{} iterations".format(thresh)
elif stopType == STOP_COST: strStop = "costs change < {}".format(thresh)
else: strStop = "gradient norm < {}".format(thresh)
name += strStop
print ("***{}\nTheta: {} - Iter: {} - Last cost: {:03.2f} - Duration: {:03.2f}s".format(name, theta, iter, costs[-1], dur))
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,4))
ax.plot(np.arange(len(costs)), costs, 'r')
ax.set_xlabel('Iterations')
ax.set_ylabel('Cost')
ax.set_title(name.upper() + ' - Error vs. Iteration')
return theta
3.3.1 批量梯度下降GD
3.3.1.1 根据迭代次数进行停止
runExpe(orig_data, theta, 100, STOP_ITER, thresh=5000, alpha = 0.000001)
按照迭代次数进行停止,迭代5000次,学习率是 0.000001
运行结果:
***Original data - learning rate: 1e-06 - Gradient descent - Stop: 5000 iterations
Theta: [[-0.00027127 0.00705232 0.00376711]] - Iter: 5000 - Last cost: 0.63 - Duration: 0.77s
其中x轴是迭代次数,y轴是损失值,随着迭代次数的增加,目标函数逐渐收敛。
当前的时间消耗0.77s。
3.3.1.2 根据损失函数变化进行停止
runExpe(orig_data, theta, 100, STOP_COST, thresh=0.000001, alpha = 0.001)
设置阈值1E-6,差不多需要迭代110000次。
输出结果如下:
***Original data - learning rate: 0.001 - Gradient descent - Stop: costs change < 1e-06
Theta: [[-5.13364014 0.04771429 0.04072397]] - Iter: 109901 - Last cost: 0.38 - Duration: 17.36s
可以看出时间花了17.36s
3.3.1.3 根据梯度值进行停止
runExpe(orig_data, theta, 100, STOP_GRAD, thresh=0.05, alpha = 0.001)
输出结果如下:
***Original data - learning rate: 0.001 - Gradient descent - Stop: gradient norm < 0.05
Theta: [[-2.37033409 0.02721692 0.01899456]] - Iter: 40045 - Last cost: 0.49 - Duration: 6.67s
根据第一张图,看似迭代5000次就已经到达瓶颈了,其实如果迭代11万次依然可以达到一个很高的准确率,所以不要被一张图蒙蔽了。
3.3.2 随机梯度下降SGD
每次只迭代一个样本
3.3.2.1 根据迭代次数进行停止
runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=5000, alpha = 0.001)
这里的学习率是0.001
,根本不能收敛
输出结果如下:
***Original data - learning rate: 0.001 - Stochastic descent - Stop: 5000 iterations
Theta: [[-0.38304524 0.02692472 0.07197214]] - Iter: 5000 - Last cost: 1.98 - Duration: 0.27s
而当我们的学习率改为0.000001后,输出结果如下:
3.3.3 小批量梯度下降
每次只迭代一批样本
runExpe(orig_data, theta, 16, STOP_ITER, thresh=5000, alpha = 0.001)
输出结果如下:
***Original data - learning rate: 0.001 - Mini-batch (16) descent - Stop: 5000 iterations
Theta: [[-0.35752768 0.01835205 0.0004876 ]] - Iter: 5000 - Last cost: 0.61 - Duration: 0.35s
与上面的图像相似,同样可以通过修改学习率进行改善:
除了将学习率调小之外,还有其他方式来改善。
可以通过对数据进行标准化,将数据按其属性(按列进行)减去其均值,然后除以其方差。最后得到的结果是,对每个属性/每列来说所有数据都聚集在0附近,方差值为1。实现方式如下:
from sklearn import preprocessing as pp
scaled_data = orig_data.copy()
scaled_data[:, 1:3] = pp.scale(orig_data[:, 1:3])
runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha = 0.001)
输出结果如下:
***Scaled data - learning rate: 0.001 - Gradient descent - Stop: 5000 iterations
Theta: [[0.3080807 0.86494967 0.77367651]] - Iter: 5000 - Last cost: 0.38 - Duration: 0.86s
昨晚sklearning之后,变得收敛了。
4. 精度
def predict(X, theta):
return [1 if x >= 0.5 else 0 for x in model(X, theta)]
scaled_X = scaled_data[:, :3]
y = scaled_data[:, 3]
predictions = predict(scaled_X, theta)
correct = [1 if ((a==1 and b==1) or (a==0 and b==0)) else 0 for (a,b) in zip(predictions, y)]
accuracy = (sum(map(int, correct)) % len(correct))
print('accuracy = {0}%'.format(accuracy))