线性反馈移位寄存器(LFSR)：通常由移位寄存器和异或门逻辑组成。其主要应用在：伪随机数，伪噪声序列，计数器，BIST，数据的加密和CRC校验等。

线性反馈移位寄存器(LFSR)主要包括两大类

  • 伽罗瓦(内部LFSR)，又称one-to-many
  • 斐波那契(外部LFSR)，又称many-to-one
  • 其中，gn为反馈系数，取值只能为0或1，取为0时表明不存在该反馈之路，取为1时表明存在该反馈之路；这里的反馈系数决定了产生随机数的算法的不同。用反馈函数表示成
    y = a0x^0 + a1x + a2x^2…，反馈函数为线性的叫线性移位反馈序列，否则叫非线性反馈移位序列。
  • Q1、Q2、Q3、Qn为LFSR的输出，M(x)是输入的码字多项式，如M(x)=x^4+ x^1+ 1，表示输入端的输入顺序为11001，同样，LFSR的结构也可以表示为多项式G(x)，称为生成多项式：
    G(x) = gn*x^n+ …+g1*x^1+ g0；

抽头选择与状态个数最大

  • 影响线性反馈寄存器下一个状态的比特位叫做抽头，选取的“某些位”构成的序列叫做抽头序列，理论表明，要使LFSR得到最长的周期，这个抽头序列构成的多项式加1必须是一个本原多项式（所有系数的最大公因数为1的多项式），也就是说这个多项式不可约，如：
    f(x) = x^4 + x + 1
  • n个D触发器最多可以提供2^(n-1)个状态(不包括全0的状态)，为了保证这些状态没有重复，gn的选择必须满足一定的条件。下面以n=3，g0=1，g1=1，g2=0，g3=1为例，说明LFSR的特性，具有该参数的LFSR结构如下图：

假设在开始时，D2D1D0=111(seed)，那么，当时钟到来时，有：
D2=D1_OUT=1；
D1=D0_OUT^D2_OUT=0；
D0=D2_OUT=1；
即D2D1D0=101；同理，又一个时钟到来时，可得D2D1D0=001.……

画出状态转移图如下：

反馈线性移位寄存器用python 线性反馈移位寄存器和crc_多项式

从图可以看出，正好有2^3-1=7个状态，不包括全0；
如果您理解了上图，至少可以得到三条结论：
1)初始状态是由SEED提供的；
2)当反馈系数不同时，得到的状态转移图也不同；必须保证gn===1,否则哪来的反馈？
3)D触发器的个数越多，产生的状态就越多，也就越“随机”；

  • 抽头的位置会影响LSFR的最大输出状态的个数,例如：3bit的抽头为【3,2】会产生7个状态（多项式对应为：x3+x2+1)，若抽头为【3,1】会产生2个状态（多项式对应为：x^3+x+1)。
    当N bits下，抽头的设定产生的最大输出序列长度为2^N-1时，此时对应的模2多项式为本原多项式。下表为不同的bits下，抽头的设定（对应不同的本原多项式）和最大的输出状态个数关系表。

    参考文章：
    LFSR的工作原理以及LFSR在CRC上的应用；

    线性反馈移位寄存器原理