历届试题 格子刷油漆
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问题描述
X国的一段古城墙的顶端可以看成 2*N个格子组成的矩形（如下图所示），现需要把这些格子刷上保护漆。
你可以从任意一个格子刷起，刷完一格，可以移动到和它相邻的格子（对角相邻也算数），但不能移动到较远的格子（因为油漆未干不能踩！）
比如：a d b c e f 就是合格的刷漆顺序。
c e f d a b 是另一种合适的方案。
当已知 N 时，求总的方案数。当N较大时，结果会迅速增大，请把结果对 1000000007 (十亿零七) 取模。
输入格式
输入数据为一个正整数（不大于1000）
输出格式
输出数据为一个正整数。
样例输入
2
样例输出
24
样例输入
3
样例输出
96
样例输入
22
样例输出
359635897
//大神的解题思路：（很详细了。。）
一共有两个递推数组：
首先设Dn表示从左边或者右边的某个角出发，然后走遍所有格子回到同一列有多少种方法。
明显D1=2,Dn=2*Dn-1
所以Dn=2^n
然后设An表示从某个角出发，走遍所有格子（不一定回到同一列）有多少种方法。
An=Dn+2*An-1+4*An-2
这个递推公式就用统计原理分析出来，分别对应三种不同的走法
Dn对应从这个角走到下一列，然后走遍所有格子回到下一列，再回到这列的走法
2*An-1表示直接走到这列的另一个角，然后再走其他的地方
4*An-2表示走对角线方法走遍前两列，然后走其他的地方
这样答案如果从四个角出发，总数就是4*An
然后分析从某一列开始，假设第i列(1<i<n)
则总数为4*(2*Di-1*An-i+2*Dn-i*Ai-1)
对i从2到n-1全部加和，得到这部分答案
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define M 1000000007
using namespace std;
ll a[1010];
ll b[1010];
int main()
{
int n,i;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
b[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++)
b[i]=(b[i-1]*2%M);
a[1]=1;a[2]=6;
for(i=3;i<=n;i++)
a[i]=(b[i]+2*a[i-1]+4*a[i-2])%M;
ll sum=4*a[n];
for(i=2;i<n;i++)
{
sum+=(((8*a[n-i]*b[i-1])%M+8*b[n-i]*a[i-1])%M)%M;
sum%=M;
}
if(n==1)
sum=2;
printf("%lld\n",sum);
}
return 0;
}
