附 原
始
实
验
记
录
| 1.欧几里得算法实验：设 a 为自己的学号，b=210，编程实现扩展的欧几里得算法，并求整数s[n]、t[n]，使得 s[n]a+t[n]b=(a, b)。 （1）根据以下代码，编程实现扩展的欧几里得算法，输出计算的中间结果及最终运算结果。 def ext_gcd(a, b): if b == 0: x1 = 1 y1 = 0 x = x1 y = y1 r = a return r, x, y else: r, x1, y1 = ext_gcd(b, a % b) x = y1 y = x1 - a // b * y1 return r, x, y print(str(a) + '=' +str(a//b)+'×'+str(b)+'+' + str(a%b)) print(str(r) + '=' + str((a)) + '×' + str(x) + '+' + str(b)+ '×'+str(y)) print('裴蜀等式：'+str(r)+'='+str(a)+'×'+str(x)+'+'+str(b)+'×'+str(y)) （2）代码如下： def ext_gcd(a, b):
if b == 0:
x1 = 1
y1 = 0
x = x1
y = y1
r = a
return r, x, y
else:
print(str(a) + '=' +str(a//b)+'×'+str(b)+'+' + str(a%b))
r, x1, y1 = ext_gcd(b, a % b)
x = y1
y = x1 - a // b * y1
if x!=0:
print(str(r) + '=' + str((a)) + '×' + str(x) + '+' + str(b)+ '×'+str(y))
return r, x, y
if __name__ == '__main__':
a=20101030210;
b=210;
r, x, y=ext_gcd(a, b)
print('裴蜀等式：'+str(r)+'='+str(a)+'×'+str(x)+'+'+str(b)+'×'+str(y))
2.素性检测算法实验：设a为自己的学号后两位+100，编程实现Miller-Rabin素性检测算法，找出使得离a最近且比a大的三个素数。 （1）Miller-Rabin素性检测算法python语言代码 import math
import random
# 使用平方乘算法，计算a**b（mod n）。
def SquareMultiplication(a, b, n):
# 将b表示为二进制形式bkbl-1...b0,既b=bn*2**n+bn-1*2**(n-1)+...+b1*2**1+b0*2**0
b_bin = bin(b)[2:][::-1]
r=1
#a**b=(((((1**2*a**bn)**2*a**bn-1)**2...a**b2)**2)*a**b1)**2*a**b0
for i in list(range(len(b_bin)))[::-1]:
r=r*r*a**int(b_bin[i])%n
return r # 使用模重复平方算法，计算a**b（mod n）。 def ModRepeatSquare(a, b, n):
# 将b表示为二进制形式bkbk-1...b0,既b=bk*2**k+bk-1*2**(k-1)+...+b1*2**1+b0*2**0
b_bin = bin(b)[2:][::-1]
r=1
#a**b=a**b0*(a**2)**b1...(a**2**k-1)**bk-1*(a**2**k)**bk
for i in list(range(len(b_bin))):
if b_bin[i]=='1':r=a*r%n
a=a*a%n
return r
#欧几里得算法，求最大公约数
def gcd(a, b):
if b == 0:
return a
else:
r = gcd(b, a % b)
return r
# 如果返回值为TRUE表示n为素数，返回值为FALSE表示n为合数。
def MillerRabinPrimeTest(n):
a = random.randint(2, n - 2) # 随机第选取一个a∈[2,n-2]
if gcd(a, n)>1:
return False
s = 0 # s为d中的因子2的幂次数。
t = n - 1
while (t & 1) == 0: # 将d中因子2全部提取出来。
s += 1
t >>= 1
x = ModRepeatSquare(a, t, n)
for i in range(s): # 进行s次二次探测
newX = ModRepeatSquare(x, 2, n)
if newX == 1 and x != 1 and x != n - 1:
return False # 用二次探测定理的逆否命题，此时n确定为合数。
x = newX
if x != 1: # 用费马小定理的逆否命题判断，此时x=a^(n-1) (mod n)，那么n确定为合数。
return False
return True # 用费马小定理的逆命题判断。能经受住考验至此的数，大概率为素数。
# 经过连续特定次数(如100次)的Miller-Rabin测试后，
# 如果返回值为TRUE表示n为素数，返回值为FALSE表示n为合数。
def isPrimeByMRS(n):
if n<=3 or (n & 1) == 0:
return False
for i in range(100):
if MillerRabinPrimeTest(n) == False:
return False
return True
if __name__ == '__main__':
random.seed()
#a为自己的学号后两位+100,如学号后两位为07
a = 110
for i in range(a, a + 10):
result = isPrimeByMRS(i)
if result == True:
print("离a最近且比a大的三个素数为：%d" %(i))
3. 模重复平方算法实验： 实现的python代码如下： def SquareMultiplication(a, b, n):
# 将b表示为二进制形式bkbl-1...b0,既b=bn*2**n+bn-1*2**(n-1)+...+b1*2**1+b0*2**0
b_bin = bin(b)[2:][::-1]
r=1
#a**b=(((((1**2*a**bn)**2*a**bn-1)**2...a**b2)**2)*a**b1)**2*a**b0
for i in list(range(len(b_bin)))[::-1]:
r=r*r*a**int(b_bin[i])%n
return r
# 使用模重复平方算法，计算a**b（mod n）。
def ModRepeatSquare_10(a_10, b_10, n_10):
# 将b表示为二进制形式bkbk-1...b0,既b=bk*2**k+bk-1*2**(k-1)+...+b1*2**1+b0*2**0
b_10_bin = bin(b_10)[2:][::-1]
r_10=1
#a**b=a**b0*(a**2)**b1...(a**2**k-1)**bk-1*(a**2**k)**bk
for i in list(range(len(b_10_bin))):
if b_10_bin[i]=='1':r_10=a_10*r_10%n_10
a_10=a_10*a_10%n_10
print('第'+ str(i)+ '轮, m['+str(i) + ']=' + str(b_10 & 1) + '，r['+str(i)+']='+ str(r_10)
+ '(mod'+str(n_10)+ '),a['+str(i)+ ']='+str(a_10))
else:
print('第'+ str(i) + '轮，m['+ str(i)+ ']='+ str(b_10 & 1) + '，r['+ str(i)+']='+'r['+str(
i- 1) + ']×'+ 'a['+ str(i - 1)+ ']='+ str(r_10) + '(mod'+ str(n_10) + '),a['+str(i)+']='+str(a_10))
return r_10
if __name__ == '__main__':
print("使用模重复平方法计算a**m(mod n)，请输入数字a:");
a_10 = int(input());
print("请输入数字m:");
b_10 = int(input());
print("请输入数字n:");
n_10 = int(input());
result_10 = ModRepeatSquare_10(a_10, b_10, n_10)
print('结果为：'+str(a_10)+'**'+str(b_10)+'(mod '+str(n_10)+')'+'='+str(result_10))
4.算法实验： 开RSA源码文件夹，熟悉RSA算法流程，将公钥（e,n）中的e改为学号后5位，e=30210
五、实验思考 - 源程序中采用的哪种快速运算算法？拓展欧几里得算法、Miller-Rabin素性检测算法、模重复平方算法
- 如何确保大素数p和q是满足条件的大素数呢？费马素性检测，通过费马小定理：如果p是一个素食，且整数a不是p的倍数，那么a^p-1=1（modp）
- 正整数e一般建议选取多少？为什么？
一般建议取e=2^16+1=65537. 六、实验算例 设p=43，q=59，取公钥e＝13+学号后两位=23，用RSA算法加密明文public。将明文代替为数字，代替方案为a-00,b-01,...,z-25（两位十进制数表示），既public=162102120903；并利用RSA算法实验
|
