kruskal:
1.思路
：设G=（V，E）是无向连通带权图，V={，…，n}；设最小生成树T=（V，TE），该树的初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T=（V，{}），Kruskal算法将这n个顶点看成是n个孤立的连通分支。它首先将所有的边按权值从小到大排序，然后只要T中选中的边数不到n-1，就做如下的贪心选择：在边集E中选取权值最小的边（i，j），如果将边（i，j）加入集合TE中不产生回路（圈），则将边（i，j）加入边集TE中，即用边（i，j）将这两个连通分支合并连接成一个连通分支；否则继续选择下一条最短边。把边（i，j）从集合E中删去。继续上面的贪心选择，直到T中所有顶点都在同一个连通分支上为止。此时，选取到的n-1条边恰好构成G的一棵最小生成树T。 那么，怎样判断加入某条边后图T会不会出现回路呢？ 该算法对于手工计算十分方便，因为用肉眼可以很容易看到挑选哪些边能够避免构成回路（避圈法），但使用计算机程序来实现时，还需要一种机制来进行判断。Kruskal算法用了一个非常聪明的方法，就是运用集合避圈：如果所选择加入的边的起点和终点都在T的集合中，那么就可以断定一定会形成回路（圈）。其实就是我们”：边的两个结点不能属于同一集合。 步骤1：初始化。将图G的边集E中的所有边按权值从小到大排序，边集TE={ }，把每个顶点都初始化为一个孤立的分支，即一个顶点对应一个集合。
步骤2：在E中寻找权值最小的边（i，j）。
步骤3：如果顶点i和j位于两个不同连通分支，则将边（i，j）加入边集TE，并执行合并操作，将两个连通分支进行合并。 步骤4：将边（i，j）从集合E中删去，即E=E-{（i，j）}。
步骤5：如果选取边数小于n-1，转步骤2；否则，算法结束，生成最小生成树T。
伪码详解
（1）数据结构 int nodeset[N];//集合号数组
struct Edge {//边的存储结构
int u;
int v;
int w;
}e[N*N]; （2）初始化 void Init(int n){
for(int i = 1; i <= n; i++) nodeset[i] = i;//每个结点赋值一个集合号}
（3）对边进行排序 bool comp(Edge x, Edge y) { return x.w < y.w;//定义优先级，按边值进行升序排序}sort(e, e+m, comp);//调用系统排序函数
（4）合并集合 int Merge(int a, int b){ int p = nodeset[a];//p为a结点的集合号 int q = nodeset[b]; //q为b结点的集合号 if(p==q) return 0; //集合号相同，什么也不做，返回 for(int i=1;i<=n;i++)//检查所有结点，把集合号是q的全部改为p { if(nodeset[i]==q) nodeset[i] = p;//a的集合号赋值给b集合号
} return 1;}
kruskal完整代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100;
int nodeset[N];
int n, m;
struct Edge {
int u;
int v;
int w;
}e[N*N];
bool comp(Edge x, Edge y)
{
return x.w < y.w;
}
void Init(int n)
{
for(int i = 1; i <= n; i++) nodeset[i] = i;
}
int Merge(int a, int b)
{
int p = nodeset[a];
int q = nodeset[b];
if(p==q) return 0;
for(int i=1;i<=n;i++)//检查所有结点，把集合号是q的改为p
{
if(nodeset[i]==q)
nodeset[i] = p;//a的集合号赋值给b集合号
}
return 1;
}
int Kruskal(int n){
int ans = 0;
for(int i=0;i<m;i++) if(Merge(e[i].u, e[i].v))
{
ans += e[i].w;
n--;
if(n==1)
return ans;
}
return 0;
}
int main()
{
cout <<"输入结点数n和边数m："<<endl;
cin >> n >> m;
Init(n);
cout <<"输入结点数u,v和边值w："<<endl;
for(int i=1;i<=m;i++)
cin >> e[i].u>> e[i].v >>e[i].w;
sort(e, e+m, comp);
int ans = Kruskal(n);
cout << "最小的花费是：" << ans << endl;
return 0;
}1）时间复杂度：算法中，需要对边进行排序，若使用快速排序，执行次数为eloge，算法的时间复杂度为O(eloge)。而合并集合需要n-1次合并，每次为O(n)，合并集合的时间复杂度为O(n2)。
2）空间复杂度：算法所需要的辅助空间包含集合号数组 nodeset[n]，则算法的空间复杂度是O(n)。
6．算法优化拓展
该算法合并集合的时间复杂度为O(n2)，我们可以用并查集的思想优化，使合并集合的时间复杂度降为O(e*logn)，优化后的程序如下。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100;
int father[N];
int n, m;
struct Edge {
int u;
int v;
int w;
}e[N*N];
bool comp(Edge x, Edge y) {
return x.w < y.w;//排序优先级，按边的权值从小到大
}
void Init(int n)
{
for(int i = 1; i <= n; i++)
father[i] = i;//顶点所属集合号，初始化每个顶点一个集合号
}
int Find(int x) //找祖宗
{
if(x != father[x])
father[x] = Find(father[x]);//把当前结点到其祖宗路径上的所有结点的集合号改为祖宗集合号
return father[x]; //返回其祖宗的集合号
}
int Merge(int a, int b) //两结点合并集合号
{
int p = Find(a); //找a的集合号
int q = Find(b); //找b的集合号
if(p==q) return 0;
if(p > q)
father[p] = q;//小的集合号赋值给大的集合号
else
father[q] = p;
return 1;
}
int Kruskal(int n)
{
int ans = 0;
for(int i=0;i<m;i++)
if(Merge(e[i].u, e[i].v))
{
ans += e[i].w;
n--;
if(n==1)
return ans;
}
return 0;}
int main()
{ cout <<"输入结点数n和边数m："<<endl;
cin >> n >> m;
Init(n);
cout <<"输入结点数u，v和边值w："<<endl;
for(int i=1;i<=m;i++) cin>>e[i].u>>e[i].v>>e[i].w;
sort(e, e+m, comp);
int ans = Kruskal(n);
cout << "最小的花费是：" << ans << endl;
return 0;}输入结点数n和边数m：
7 12输入结点数u，v和边值w：
1 2 23
1 6 28
1 7 36
2 3 20
2 7 1
3 4 15
3 7 4
4 5 3
4 7 9
5 6 17
5 7 16
6 7 25
输出57
prim
步骤1：确定合适的数据结构。设置带权邻接矩阵C存储图G，如果图G中存在边（u，x），令C[u][x]等于边（u，x）上的权值，否则，C[u][x]=∞；bool数组s[]，如果s[i]=true，说明顶点i已加入集合U。
可以通过设置两个数组巧妙地解决这个问题，closest[j]表示V-U中的顶点j到集合U中的最邻近点，lowcost[j]表示V-U中的顶点j到集合U中的最邻近点的边值，即边（j,closest[j]）的权值。
（https://img-blog.csdnimg.cn/2021052415592813.jpg?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMzU4NTc0,size_16,color_FFFFFF,t_30)
例如，在图中7号结点到U集合中的最邻近点是2，closest[7]=2，如图2-63所示。7号结点到最邻近点2的边值为1，即边（2，7）的权值，记为lowcost[7]=1，如图2-64所示。
只需要在V-U集合中找lowcost[ ]值最小的顶点即可。
步骤2：初始化。令集合U={u0}，u0∈V，并初始化数组closest[]、
lowcost[]和s[]。
步骤3：在V-U集合中找lowcost值最小的顶点t，
即lowcost[t]=min{lowcost[j]|j∈V-U}，
满足该公式的顶点t就是集合V-U中连接集合U的最邻近点。 步骤4：将顶点t加入集合U。 步骤5：如果集合V-U，算法结束，否则，转步骤6。 步骤6：对集合V-U中的所有顶点j，更新其lowcost[]和closest[]。cost [j]= C [t] [j]; closest [j] = t; }，转步骤3。 按照上述步骤，最终可以得到一棵权值之和最小的生成树。
更新公式：
if（C[t] [j]<lowcost [j] ) {
lowcost [j]= C [t] [j]; closest [j] = t; }，转步骤3。 按照上述步骤，最终可以得到一棵权值之和最小的生成树。
伪代码详解
（1）初始化。s[1]=true，初始化数组closest，除了u0外其余顶点最邻近点均为u0，表示V-U中的顶点到集合U的最临近点均为u0；初始代数组lowcost，u0到V-U中的顶点的边值，无边相连则为∞（无穷大）
s[u0] = true; //初始时，集合中U只有一个元素，即顶点u0
for(i = 1; i <= n; i++) {
if(i != u0) //除u0之外的顶点 { lowcost[i] = c[u0][i]; //u0到其它顶点的边值 closest[i] = u0; //最邻近点初始化为u0 s[i] = false; //初始化u0之外的顶点不属于U集合，即属于V-U集合 } else lowcost[i] =0;}
2）在集合V-U中寻找距离集合U最近的顶点t。
int temp = INF;
int t = u0;
for(j = 1; j <= n; j++) //在集合中V-U中寻找距离集合U最近的顶点t
{
if((!s[j]) && (lowcost[j] < temp)) //!s[j] 表示j结点在V-U集合中
{
t = j;
temp = lowcost[j];}
}
if(t == u0) //找不到t，跳出循环
break;
（3）更新lowcost和closest数组。 s[t] = true; //否则，t加入集合U
for(j = 1; j <= n; j++) //更新lowcost和closest
{
if((!s[j]) && (c[t][j] < lowcost[j])) // !s[j] 表示j结点在V-U集合中
//t到j的边值小于当前的最邻近值
{
lowcost[j] = c[t][j]; //更新j的最邻近值为t到j的边值
closest[j] = t; //更新j的最邻近点为t
}
}prim完整代码
#include <iostream>
using namespace std;
const int INF = 0x3fffffff;
const int N = 100;
bool s[N];
int closest[N];
int lowcost[N];
void Prim(int n, int u0, int c[N][N])
{ //顶点个数n、开始顶点u0、带权邻接矩阵C[n][n]
//如果s[i]=true,说明顶点i已加入最小生成树
//的顶点集合U；否则顶点i属于集合V-U
//将最后的相关的最小权值传递到数组lowcost
s[u0] = true; //初始时，集合中U只有一个元素，即顶点u0
int i;
int j;
for(i = 1; i <= n; i++)//①
{
if(i != u0)
{
lowcost[i] = c[u0][i];
closest[i] = u0;
s[i] = false;
}
else
lowcost[i] =0;
}
for(i = 1; i <= n; i++) //②
{
int temp = INF;
int t = u0;
for(j = 1; j <= n; j++) //③在集合中V-u中寻找距离集合U最近的顶点t
{
if((!s[j]) && (lowcost[j] < temp))
{
t = j;
temp = lowcost[j];
}
}
if(t == u0)
break; //找不到t，跳出循环
s[t] = true; //否则，讲t加入集合U
for(j = 1; j <= n; j++) //④更新lowcost和closest
{
if((!s[j]) && (c[t][j] < lowcost[j]))
{
lowcost[j] = c[t][j];
closest[j] = t; } } }}
int main()
{
int n, c[N][N], m, u, v, w;
int u0;
cout <<"输入结点数n和边数m："<<endl;
cin >> n >> m;
int sumcost = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= n; j++)
c[i][j] = INF;
cout <<"输入结点数u，v和边值w："<<endl;
for(int i=1; i<=m; i++)
{
cin >> u >> v >> w;
c[u][v] = c[v][u] = w;
}
cout <<"输入任一结点u0："<<endl;
cin >> u0 ;
//计算最后的lowcos的总和，即为最后要求的最小的费用之和
Prim(n, u0, c);
cout <<"数组lowcost的内容为："<<endl; for(int i = 1; i <= n; i++)
cout << lowcost[i] << " "; cout << endl;
for(int i = 1; i <= n; i++) sumcost += lowcost[i];
cout << "最小的花费是：" << sumcost << endl << endl;
return 0;}
