算法熟记-并查集
1. 简述
并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。
需要实现的操作有：合并两个集合，判断两个元素是否属于一个集合。
这里介绍的主要是普通的并查集，很多情况下使用的并查集是需要扩展的，根据使用情况的不同，有很多差别，这里仅仅是最基本的算法。
2. 复杂度
T=O(n*α(n)) ， 其中α(x)，对于x=宇宙中原子数之和，α(x)不大于4。事实上，路经压缩后的并查集的复杂度是一个很小的常数。
3. 伪代码
没有使用路径压缩和启发式的方法。
// 初始化并查集
#define N 100
int father[N];
void init() {
for(int i=0; i<N; i++)
father[i] = i;
}
// 合并两个元素所在的集合
void union(int x,int y) {
x = getfather(x);
y = getfather(y);
if(x!= y)
father[x]=y;
}
// 判断两个元素是否属于同一个集合
bool same(int x,int y) {
return getfather(x)==getfather(y);
}
// 获取根结点
int getfather(int x) {
while(x != father[x])
x = father[x];
return x;
}使用路径压缩，改进getfather。
// 获取根结点
int getfather(int x) {
if(x != father[x])
father[x] = getfather(father[x]); // 路径压缩修改的是father数组return father[x];
}
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这个文章是几年前水acm的时候转的, 当时也不知道作者是谁, 要是有人知道的话说一下吧
并查集是我暑假从高手那里学到的一招，觉得真是太精妙的设计了。以前我无法解决的一类问题竟然可以用如此简单高效的方法搞定。不分享出来真是对不起party了。（party：我靠，关我嘛事啊？我跟你很熟么？）
来看一个实例，杭电1232畅通工程
首先在地图上给你若干个城镇，这些城镇都可以看作点，然后告诉你哪些对城镇之间是有道路直接相连的。最后要解决的是整幅图的连通性问题。比如随意给你两个点，让你判断它们是否连通，或者问你整幅图一共有几个连通分支，也就是被分成了几个互相独立的块。像畅通工程这题，问还需要修几条路，实质就是求有几个连通分支。如果是1个连通分支，说明整幅图上的点都连起来了，不用再修路了；如果是2个连通分支，则只要再修1条路，从两个分支中各选一个点，把它们连起来，那么所有的点都是连起来的了；如果是3个连通分支，则只要再修两条路……
以下面这组数据输入数据来说明
4 2 1 3 4 3
第一行告诉你，一共有4个点，2条路。下面两行告诉你，1、3之间有条路，4、3之间有条路。那么整幅图就被分成了1-3-4和2两部分。只要再加一条路，把2和其他任意一个点连起来，畅通工程就实现了，那么这个这组数据的输出结果就是1。好了，现在编程实现这个功能吧，城镇有几百个，路有不知道多少条，而且可能有回路。 这可如何是好？
我以前也不会呀，自从用了并查集之后，嗨，效果还真好！我们全家都用它！
并查集由一个整数型的数组和两个函数构成。数组pre[]记录了每个点的前导点是什么，函数find是查找，join是合并。
[cpp] view plain copy
1. int pre[1000 ];
2. int find(int x) //查找根节点
3. {
4. int r=x;
5. while ( pre[r ] != r ) //返回根节点 r
6. r=pre[r ];
7.
8. int i=x , j ;
9. while( i != r ) //路径压缩
10. {
11. // 在改变上级之前用临时变量 j 记录下他的值
12. //把上级改为根节点
13. i=j;
14. }
15. return r ;
16. }
17.
18.
19. void join(int x,int y) //判断x y是否连通，
20. //如果已经连通，就不用管了 //如果不连通，就把它们所在的连通分支合并起,
21. {
22. int fx=find(x),fy=find(y);
23. if(fx!=fy)
24. pre[fx ]=fy;
25. }
为了解释并查集的原理，我将举一个更有爱的例子。 话说江湖上散落着各式各样的大侠，有上千个之多。他们没有什么正当职业，整天背着剑在外面走来走去，碰到和自己不是一路人的，就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气，绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”，只要是能通过朋友关系串联起来的，不管拐了多少个弯，都认为是自己人。这样一来，江湖上就形成了一个一个的群落，通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个群落的人，无论如何都无法通过朋友关系连起来，于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人，如何判断是否属于一个朋友圈呢？
我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人，作为该圈子的代表人物，这样，每个圈子就可以这样命名“齐达内朋友之队”“罗纳尔多朋友之队”……两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人，就可以确定敌友关系了。
但是还有问题啊，大侠们只知道自己直接的朋友是谁，很多人压根就不认识队长，要判断自己的队长是谁，只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去：“你是不是队长？你是不是队长？”这样一来，队长面子上挂不住了，而且效率太低，还有可能陷入无限循环中。于是队长下令，重新组队。队内所有人实行分等级制度，形成树状结构，我队长就是根节点，下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候，只要一层层向上问，直到最高层，就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否连通，至于他们是如何连通的，以及每个圈子内部的结构是怎样的，甚至队长是谁，并不重要。所以我们可以放任队长随意重新组队，只要不搞错敌友关系就好了。于是，门派产生了。
下面我们来看并查集的实现。 int pre[1000]; 这个数组，记录了每个大侠的上级是谁。大侠们从1或者0开始编号（依据题意而定），pre[15]=3就表示15号大侠的上级是3号大侠。如果一个人的上级就是他自己，那说明他就是掌门人了，查找到此为止。也有孤家寡人自成一派的，比如欧阳锋，那么他的上级就是他自己。每个人都只认自己的上级。比如胡青牛同学只知道自己的上级是杨左使。张无忌是谁？不认识！要想知道自己的掌门是谁，只能一级级查上去。 find这个函数就是找掌门用的，意义再清楚不过了（路径压缩算法先不论，后面再说）。
[cpp] view plain copy
1. int find(int x) //查找我（x）的掌门
2. {
3. int r=x; //委托 r 去找掌门
4. while (pre[r ]!=r) //如果r的上级不是r自己（也就是说找到的大侠他不是掌门 = =）
5. // r 就接着找他的上级，直到找到掌门为止。
6. return r ; //掌门驾到~~~
7. }
再来看看join函数，就是在两个点之间连一条线，这样一来，原先它们所在的两个板块的所有点就都可以互通了。这在图上很好办，画条线就行了。但我们现在是用并查集来描述武林中的状况的，一共只有一个pre[]数组，该如何实现呢？ 还是举江湖的例子，假设现在武林中的形势如图所示。虚竹小和尚与周芷若MM是我非常喜欢的两个人物，他们的终极boss分别是玄慈方丈和灭绝师太，那明显就是两个阵营了。我不希望他们互相打架，就对他俩说：“你们两位拉拉勾，做好朋友吧。”他们看在我的面子上，同意了。这一同意可非同小可，整个少林和峨眉派的人就不能打架了。这么重大的变化，可如何实现呀，要改动多少地方？其实非常简单，我对玄慈方丈说：“大师，麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来，两派原先的所有人员的终极boss都是师太，那还打个球啊！反正我们关心的只是连通性，门派内部的结构不要紧的。”玄慈一听肯定火大了：“我靠，凭什么是我变成她手下呀，怎么不反过来？我抗议！”抗议无效，上天安排的，最大。反正谁加入谁效果是一样的，我就随手指定了一个。这段函数的意思很明白了吧？
[cpp] view plain copy
1. void join(int x,int y) //我想让虚竹和周芷若做朋友
2. {
3. int fx=find(x),fy=find(y); //虚竹的老大是玄慈，芷若MM的老大是灭绝
4. if(fx!=fy) //玄慈和灭绝显然不是同一个人
5. //方丈只好委委屈屈地当了师太的手下啦
6. }
再来看看路径压缩算法。建立门派的过程是用join函数两个人两个人地连接起来的，谁当谁的手下完全随机。最后的树状结构会变成什么胎唇样，我也完全无法预计，一字长蛇阵也有可能。这样查找的效率就会比较低下。最理想的情况就是所有人的直接上级都是掌门，一共就两级结构，只要找一次就找到掌门了。哪怕不能完全做到，也最好尽量接近。这样就产生了路径压缩算法。 设想这样一个场景：两个互不相识的大侠碰面了，想知道能不能揍。 于是赶紧打电话问自己的上级：“你是不是掌门？” 上级说：“我不是呀，我的上级是谁谁谁，你问问他看看。” 一路问下去，原来两人的最终boss都是东厂曹公公。 “哎呀呀，原来是记己人，西礼西礼，在下三营六组白面葫芦娃!” “幸会幸会，在下九营十八组仙子狗尾巴花！” 两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。 “等等等等，两位同学请留步，还有事情没完成呢！”我叫住他俩。 “哦，对了，还要做路径压缩。”两人醒悟。 白面葫芦娃打电话给他的上级六组长：“组长啊，我查过了，其习偶们的掌门是曹公公。不如偶们一起及接拜在曹公公手下吧，省得级别太低，以后查找掌门麻环。” “唔，有道理。” 白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长……仙子狗尾巴花也做了同样的事情。 这样，查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理，所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上。路径压缩的代码，看得懂很好，看不懂也没关系，直接抄上用就行了。总之它所实现的功能就是这么个意思。
[cpp] view plain copy
1. #include<iostream>
2. using namespace std;
3.
4. int pre[1050];
5. bool t[1050]; //t 用于标记独立块的根结点
6.
7. int Find(int x)
8. {
9. int r=x;
10. while(r!=pre[r])
11. r=pre[r];
12.
13. int i=x,j;
14. while(pre[i]!=r)
15. {
16. j=pre[i];
17. pre[i]=r;
18. i=j;
19. }
20. return r;
21. }
22.
23. void mix(int x,int y)
24. {
25. int fx=Find(x),fy=Find(y);
26. if(fx!=fy)
27. {
28. pre[fy]=fx;
29. }
30. }
31.
32. int main()
33. {
34. int N,M,a,b,i,j,ans;
35. while(scanf("%d%d",&N,&M)&&N)
36. {
37. for(i=1;i<=N;i++) //初始化
38. pre[i]=i;
39.
40. for(i=1;i<=M;i++) //吸收并整理数据
41. {
42. "%d%d",&a,&b);
43. mix(a,b);
44. }
45.
46.
47. memset(t,0,sizeof(t));
48. for(i=1;i<=N;i++) //标记根结点
49. {
50. t[Find(i)]=1;
51. }
52. for(ans=0,i=1;i<=N;i++)
53. if(t[i])
54. ans++;
55.
56. "%d\n",ans-1);
57.
58. }
59. return 0;
60. }//dellaserss以下为原文附的代码:
回到开头提出的问题，我的代码如下：
[cpp] view plain copy
1. #include int pre[1000 ];
2. int find(int x)
3. {
4. int r=x;
5. while (pre[r ]!=r)
6. r=pre[r ];
7. int i=x; int j;
8. while(i!=r)
9. {
10. j=pre[i ];
11. pre[i ]=r;
12. i=j;
13. }
14. return r;
15. }
16. int main()
17. {
18. int n,m,p1,p2,i,total,f1,f2;
19. while(scanf("%d",&n) && n) //读入n，如果n为0，结束
20. //刚开始的时候，有n个城镇，一条路都没有 //那么要修n-1条路才能把它们连起来
21. total=n-1;
22. //每个点互相独立，自成一个集合，从1编号到n //所以每个点的上级都是自己
23. for(i=1;i<=n;i++) { pre[i ]=i; } //共有m条路
24. "%d",&m); while(m--)
25. //下面这段代码，其实就是join函数，只是稍作改动以适应题目要求
26. //每读入一条路，看它的端点p1，p2是否已经在一个连通分支里了
27. "%d %d",&p1,&p2);
28. f1=find(p1);
29. f2=find(p2);
30. //如果是不连通的，那么把这两个分支连起来
31. //分支的总数就减少了1，还需建的路也就减了1
32. if(f1!=f2)
33. {
34. pre[f2 ]=f1;
35. total--;
36. }
37. //如果两点已经连通了，那么这条路只是在图上增加了一个环 //对连通性没有任何影响，无视掉
38. }
39. //最后输出还要修的路条数
40. "%d\n",total);
41. }
42. return 0;
43. }
===================================================第二篇=============================================================
并查集
并查集（Union-find Sets）是一种非常精巧而实用的数据结构，它主要用于处理一些不相交集合的合并问题。一些常见的用途有求连通子图、求最小生成树的 Kruskal 算法和求最近公共祖先（Least Common Ancestors, LCA）等。
使用并查集时，首先会存在一组不相交的动态集合 S={S1,S2,⋯,Sk}S={S1,S2,⋯,Sk}，一般都会使用一个整数表示集合中的一个元素。
每个集合可能包含一个或多个元素，并选出集合中的某个元素作为代表。每个集合中具体包含了哪些元素是不关心的，具体选择哪个元素作为代表一般也是不关心的。我们关心的是，对于给定的元素，可以很快的找到这个元素所在的集合（的代表），以及合并两个元素所在的集合，而且这些操作的时间复杂度都是常数级的。
并查集的基本操作有三个：
- makeSet(s)：建立一个新的并查集，其中包含 s 个单元素集合。
- unionSet(x, y)：把元素 x 和元素 y 所在的集合合并，要求 x 和 y 所在的集合不相交，如果相交则不合并。
- find(x)：找到元素 x 所在的集合的代表，该操作也可以用于判断两个元素是否位于同一个集合，只要将它们各自的代表比较一下就可以了。
并查集的实现原理也比较简单，就是使用树来表示集合，树的每个节点就表示集合中的一个元素，树根对应的元素就是该集合的代表，如图 1 所示。
图 1 并查集的树表示
图中有两棵树，分别对应两个集合，其中第一个集合为 {a,b,c,d}{a,b,c,d}，代表元素是 aa；第二个集合为 {e,f,g}{e,f,g}，代表元素是 ee。
树的节点表示集合中的元素，指针表示指向父节点的指针，根节点的指针指向自己，表示其没有父节点。沿着每个节点的父节点不断向上查找，最终就可以找到该树的根节点，即该集合的代表元素。
现在，应该可以很容易的写出 makeSet 和 find 的代码了，假设使用一个足够长的数组来存储树节点（很类似之前讲到的静态链表），那么 makeSet 要做的就是构造出如图 2 的森林，其中每个元素都是一个单元素集合，即父节点是其自身：
图 2 构造并查集初始化
相应的代码如下所示，时间复杂度是 O(n)O(n)：
const int MAXSIZE = 500;
int uset[MAXSIZE];
void makeSet(int size) {
for(int i = 0;i < size;i++) uset[i] = i;
}接下来，就是 find 操作了，如果每次都沿着父节点向上查找，那时间复杂度就是树的高度，完全不可能达到常数级。这里需要应用一种非常简单而有效的策略——路径压缩。
路径压缩，就是在每次查找时，令查找路径上的每个节点都直接指向根节点，如图 3 所示。
图 3 路径压缩
我准备了两个版本的 find 操作实现，分别是递归版和非递归版，不过两个版本目前并没有发现有什么明显的效率差距，所以具体使用哪个完全凭个人喜好了。
int find(int x) {
if (x != uset[x]) uset[x] = find(uset[x]);
return uset[x];
}
int find(int x) {
int p = x, t;
while (uset[p] != p) p = uset[p];
while (x != p) { t = uset[x]; uset[x] = p; x = t; }
return x;
}最后是合并操作 unionSet，并查集的合并也非常简单，就是将一个集合的树根指向另一个集合的树根，如图 4 所示。
图 4 并查集的合并
这里也可以应用一个简单的启发式策略——按秩合并。该方法使用秩来表示树高度的上界，在合并时，总是将具有较小秩的树根指向具有较大秩的树根。简单的说，就是总是将比较矮的树作为子树，添加到较高的树中。为了保存秩，需要额外使用一个与 uset 同长度的数组，并将所有元素都初始化为 0。
void unionSet(int x, int y) {
if ((x = find(x)) == (y = find(y))) return;
if (rank[x] > rank[y]) uset[y] = x;
else {
uset[x] = y;
if (rank[x] == rank[y]) rank[y]++;
}
}下面是按秩合并的并查集的完整代码，这里只包含了递归的 find 操作。
const int MAXSIZE = 500;
int uset[MAXSIZE];
int rank[MAXSIZE];
void makeSet(int size) {
for(int i = 0;i < size;i++) uset[i] = i;
for(int i = 0;i < size;i++) rank[i] = 0;
}
int find(int x) {
if (x != uset[x]) uset[x] = find(uset[x]);
return uset[x];
}
void unionSet(int x, int y) {
if ((x = find(x)) == (y = find(y))) return;
if (rank[x] > rank[y]) uset[y] = x;
else {
uset[x] = y;
if (rank[x] == rank[y]) rank[y]++;
}
}除了按秩合并，并查集还有一种常见的策略，就是按集合中包含的元素个数（或者说树中的节点数）合并，将包含节点较少的树根，指向包含节点较多的树根。这个策略与按秩合并的策略类似，同样可以提升并查集的运行速度，而且省去了额外的 rank 数组。
这样的并查集具有一个略微不同的定义，即若 uset 的值是正数，则表示该元素的父节点（的索引）；若是负数，则表示该元素是所在集合的代表（即树根），而且值的相反数即为集合中的元素个数。相应的代码如下所示，同样包含递归和非递归的 find 操作：
const int MAXSIZE = 500;
int uset[MAXSIZE];
void makeSet(int size) {
for(int i = 0;i < size;i++) uset[i] = -1;
}
int find(int x) {
if (uset[x] < 0) return x;
uset[x] = find(uset[x]);
return uset[x];
}
int find(int x) {
int p = x, t;
while (uset[p] >= 0) p = uset[p];
while (x != p) {
t = uset[x];
uset[x] = p;
x = t;
}
return x;
}
void unionSet(int x, int y) {
if ((x = find(x)) == (y = find(y))) return;
if (uset[x] < uset[y]) {
uset[x] += uset[y];
uset[y] = x;
} else {
uset[y] += uset[x];
uset[x] = y;
}
}如果要获取某个元素 x 所在集合包含的元素个数，可以使用 -uset[find(x)] 得到。
并查集的空间复杂度是 O(n)O(n) 的，这个很显然，如果是按秩合并的，占的空间要多一些。find 和 unionSet 操作都可以看成是常数级的，或者准确来说，在一个包含 nn 个元素的并查集中，进行 mm 次查找或合并操作，最坏情况下所需的时间为 O(mα(n))O(mα(n))，这里的 αα 是 Ackerman 函数的某个反函数，在极大的范围内（比可观察到的宇宙中估计的原子数量 10801080 还大很多）都可以认为是不大于 4 的。具体的时间复杂度分析，请参见《算法导论》的 21.4 节 带路径压缩的按秩合并的分析。
作者：CYJB
