BZOJ 3864 Hero meet devil (状压DP)

最近写状压写的有点多，什么

$LIS,LCS$

全都用状压写了…这道题就是一道状压

$LCS$

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题意

给出一个长度为

$n(n<=15)$

的字符串

$s$

，只由

$A,T,G,C$

组成。对于

$0...n$

的每一个

$i$

，求长度为

$m(m<=1000)$

且只由

$A,T,G,C$

组成的串中，有多少字符串与

$s$

的最长公共子序列

$(LCS)$

长度为

$i$

。

分析

• 先想想

$LCS$

• 的转移怎么写的，设

$lcs(i,j)$

• 表示长度为

$m(m<=1000)$

• 的未知串匹配到

$i$

• ，长度为

$n(n<=15)$

• 的

$s$

• 串匹配到

$j$

• 的最长公共子序列长度

$\large lcs(i,j)=\left\{ \begin{aligned} &lcs(i-1,j-1)+1&M[i]=s[j]\\ &Max(lcs(i-1,j),lcs(i,j-1))&M[i]≠s[j]\\ \end{aligned} \right.$

• 可以观察到

$lcs(i,j)$

• 与

$lcs(i,j-1)$

• 的差最多为

$1$

• ，那么我们将

$lcs(i,0...n-1)$

• 的差分数组(

$01串$

• )状压，做

$m$

• 次转移来统计方案。差分数组的

$1$

• 的个数就是当前状态的

$LCS$

• 的长度。
• 可以预处理出每个状态后面加一个字符会得到的下一个状态。具体做法可以把差分数组还原成

$lcs$

• 数组再像普通的

$LCS$

• 来DP，最后再还原。也可以像我这样直接写

for(int state = 0; state < (1<<n); ++state) //当前状态
  for(int i = 0; i < 4; ++i) { //选哪一个字符
    int res = 0, now = 0, pre = 0; //res存答案
    for(int j = 0; j < n; ++j) {
      int npre = pre + ((state>>j)&1);
      int nnow = max(now, npre);
      if(i == arr[j]) nnow = pre + 1;
      if(nnow > now) res += 1<<j; //大于 说明此处差分数组值为1
      pre = npre, now = nnow;
    }
    //pre:dp[i-1][j-1]  npre:dp[i-1][j]
    //now:dp[i][j-1]    nnow:dp[i][j]
    to[state][i] = res;
  }

• 注意清零啥的.

AC CODE

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 15;
const int MAXS = 32768;
const int mod = 1e9 + 7;
inline int num(char c) {
  return c == 'A' ? 0 : c == 'T' ? 1 : c == 'G' ? 2 : 3;
}
char s[MAXN];
int n, m, arr[MAXN], ans[MAXN+1], to[MAXS][4], f[2][MAXS], sz[MAXS];
inline void solve() {
  scanf("%s%d", s, &m); n = strlen(s);
  for(int i = 0; i < n; ++i) arr[i] = num(s[i]);
  for(int state = 0; state < (1<<n); ++state)
    for(int i = 0; i < 4; ++i) {
      int res = 0, now = 0, pre = 0;
      for(int j = 0; j < n; ++j) {
        int npre = pre + ((state>>j)&1);
        int nnow = max(now, npre);
        if(i == arr[j]) nnow = pre + 1;
        if(nnow > now) res += 1<<j;
        pre = npre, now = nnow;
      }
      //pre:dp[i-1][j-1]  npre:dp[i-1][j]
      //now:dp[i][j-1] nnow:dp[i][j]
      to[state][i] = res;
    }
  int now = 0; f[now][0] = 1;
  while(m--) { now ^= 1;
    for(int state = 0; state < (1<<n); ++state) {
      for(int i = 0; i < 4; ++i)
        f[now][to[state][i]] = (f[now][to[state][i]] + f[now^1][state]) % mod;
      f[now^1][state] = 0;
    }
  }
  memset(ans, 0, sizeof ans);
  for(int state = 0; state < (1<<n); ++state)
    ans[sz[state]] = (ans[sz[state]] + f[now][state]) % mod, f[now][state] = 0;
  for(int i = 0; i <= n; ++i)
    printf("%d\n", ans[i]);
}

int main () {
  int T;
  for(int state = 0; state < MAXS; ++state)
    sz[state] = sz[state>>1] + (state&1);
  scanf("%d", &T);
  while(T--) solve();
}