点分治是一个需要自己推导的算法,但是有板子,但是Cal这个函数根据不同题目是会变的。
点分治是解决树上求值的一种算法,比如说一棵树上路径距离(u,v)距离<=K距离(u,v)距离<=K的点对数量。
我们首先思考最笨的想法:
我们可以先求出所以路径长度,然后减去不满足的路径长度(也就是最近公共祖先不是跟的路径长度)。
DFS枚举子树,然后在DFS一趟计算这棵子树路径长度−−不满足的,然后排序找答案。
这样子看起来效率很高啊O(Nlog2N),但是对于一种数据就会很慢。如果树退化成了链的话,那么时间复杂度是O(N2)的。
所以,点分治的想法,每次保证树的深度是平均的,也就是最大子树最小的点作为根节点。
其实也就这样,对于笨蛋想法的优化。
点分治就是选取一个点将无根树转化为有根树,再递归处理以根节点的儿子节点为根的子树。
点分治的步骤:
1.将无根树转化为有根树。
可以证明,以重心为根,每棵树子结点个数均不大于n/2。因此,递归深度不超过(logn)
找重心的方法——树型DP
2. 统计过根节点的路径(过根节点的所有路径-相交的路径)
在以1号节点为根节点时,计算出了6,7号节点的距离=1号路径(绿色)+2号路径(绿色)——但事实上6,7号节点的距离=3号路径(红色)的长度。因此我们要减去1,2号路径
3.删除根节点。
4.递归子树。