【学习小记】支配树【图论】

Preface

给定一个有向图和一个起点$st$，我们需要知道起点到某个点的关于必经点的信息。
若起点到点v的所有路径均经过点u，则我们称点u支配点v，显然一个点支配自己本身

顾名思义，支配树就是由某些支配关系构成的树。

定义

约定一些记号
$(u,v)$，表示一条从u到v的有向边
$fa(u)$，表示$u$在DFS树上的父亲。
$dfn(i)$为从$st$开始DFS整个图，$i$号点的$dfs$时间戳。
$Path(u,v)$，表示DFS树上$u$到$v$的路径上的点集
$Path(u,v)/u$表示路径上点集中除去点$u$剩余的集合

我们定义一个点$u$的最近支配点$idom(u)$，它支配$u$，且它也被除u以外的所有支配u的点支配

性质

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显然$idom(u)$唯一存在，且若我们重新建一个图，所有的$idom(u)$与$u$连一条边，那么这个新图是一棵以$st$为根的树，也就是说$idom$不会成环（可以用反证法简单证明）。
这棵树就是我们说的支配树。

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$idom(u)$一定是$u$在$dfs$树上的祖先。（一样可以反证法简单证明）

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问题就是要求出$idom$。

求解

为了求出$idom$，我们引入半必经点的概念。

半必经点

回归tarjan求强连通分量的算法，我们来观察DFS过程中会出现哪些边。

• 树边，DFS树上的父亲——儿子边。
• 后向边，祖先向后代连的非树边的边。
• 返祖边，DFS序大的后代向DFS序小的祖先连的边
• 横叉边，DFS序大的点向DFS序小的点连的边，且没有祖先后代关系。

容易证明不存在上面四种边以外的边。

记$semi(u)$表示从$u$开始，沿着边反着走，能够中途不经过u的祖先，最后到达的深度最浅($dfn$最小)的$u$的祖先。

形式化的，$semi(u)$是$u$的祖先，且存在原图中的一条路径$p_1...p_k$，$p_1=semi(u),p_k=u，\forall_{i=2}^{k-1}dfn(p_i)>dfn(u)$

可以发现这两种定义是等价的，因为不可能通过反向边走到DFS序更小的且不是祖先的点去。

我们考虑它可能怎么走，要么通过树边/后向边的反向边直接走到一个祖先，要么通过返祖边/横叉边的反向边走到某些$dfn$更大的点$pre_u$，然后在$Path(st,pre_u)$上找一个$w$，满足$dfn(w)\geq dfn(u)$，所有的$semi(w)$的最浅的那个就用来更新$semi(u)$。

可以发现最浅的$semi(w)$一定是$u$的祖先，因此我们不必担心不合法的问题。

那么我们就得到了$semi$的求法，按照DFS序倒序枚举所有点$u$，按照上面的做法来不断更新，查询祖先可以用带权并查集来做，求出一个点的$semi$之后将它的所有树边儿子与它合并即可。

问题在于求$idom$
我们考虑$v\in Path(semi(u),u)/semi(u)$，找到$semi(v)$最浅的一个。

有定理：若$semi(v)=semi(u)$，则$idom(u)=semi(u)$，否则$idom(u)=idom(v)$
这个定理请自行理解…我也不会证

有了这个定理之后我们可以将$u$挂在$semi(u)$上，扫到$semi(u)$的时候就找到$u$相应的$v$，若$semi(u)=semi(v)$就直接$idom(u)=semi(u)$，否则因为此时$idom(v)$还没有求出来，我们可以先将$idom(u)$指向$v$，最后全部都做完以后按照DFS序正序扫一遍将这部分的$idom(u)$改成$idom(idom(u))$即可。

时间复杂度$O(n\log n)$（因为不能按秩合并）

Code

​​洛谷P5180​​，支配树模板题。

#include <bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define N 200005
#define M 300005
using namespace std;
vector<int> pre[N];
int fs[N],nt[M],dt[M],pr[M],n,m,m1;

int semi[N],idom[N],ft[N],fp[N],dfn[N],dfw[N],fa[N];
vector<int> ids[N];
int gmin(int x,int y) 
{
  return (!y||(dfn[x]<dfn[y]&&x))?x:y;
}
void link(int x,int y)
{
  nt[++m1]=fs[x];
  dt[fs[x]=m1]=y;
}
void dfs(int k)
{
  dfw[dfn[k]=++dfn[0]]=k;
  for(int i=fs[k];i;i=nt[i])
  {
    int p=dt[i];
    if(!dfn[p]) fa[p]=k,dfs(p);
    if(dfn[k]<dfn[p]) semi[p]=gmin(semi[p],k);
    else pre[p].push_back(k);
  }
}
int getf(int k)
{
  if(!ft[k]||ft[k]==k) return k;
  int p=getf(ft[k]);
  fp[k]=(dfn[semi[fp[k]]]<dfn[semi[fp[ft[k]]]])?fp[k]:fp[ft[k]];
  return ft[k]=p;
}
int fd(int k)
{
  getf(k);return fp[k];
}
void merge(int x,int y)
{
  int fx=getf(x),fy=getf(y);
  ft[fy]=fx,fp[fy]=(dfn[semi[fp[fy]]]<dfn[semi[fp[fx]]])?fp[fy]:fp[fx];
}
void make()
{
  fod(i,n,1)
  {
    int k=dfw[i];
    if(i>1)
    {
      for(int u:pre[k])
      { 
        int v=fd(u);
        semi[k]=gmin(semi[k],semi[v]);
      }
      ids[semi[k]].push_back(k);  
    }
    for(int u:ids[k])
    {
      int v=fd(u);
      idom[u]=(semi[v]==k)?k:v; 
    }
    fp[k]=k;
    for(int i=fs[k];i;i=nt[i]) if(fa[dt[i]]==k) merge(k,dt[i]);
  }
  for(int i=2,k=dfw[2];i<=n;++i,k=dfw[i]) if(idom[k]!=semi[k]) idom[k]=idom[idom[k]];
}
int sz[N];
int main()
{
  cin>>n>>m;
  fo(i,1,m)
  {
    int x,y;
    scanf("%d%d",&x,&y);
    link(x,y),pre[y].push_back(x);
  }
  dfs(1);
  make();
  fod(i,n,1)
  {
    sz[dfw[i]]++;
    sz[idom[dfw[i]]]+=sz[dfw[i]]; 
  }
  fo(i,1,n) printf("%d ",sz[i]);
}