莫队算法学习小记

算法创始人

莫涛大神。
莫涛队长的算法，%%%%%%%%%

算法简介

算法前提

可以在$O(1)$的时间内把[l,r]的询问转移到[l-1,r],[l+1,r],[l,r-1],[l,r+1]的询问，而且不需要修改操作，那么就可以使用莫队算法（[a,b]表示从a到b的区间，包含a和b）

算法核心

假如有一个询问[l,r]要转移到一个询问[l1,r1]，那么需要的时间为$O(|l1-l|+|r1-r|)$,在算法前提下，可以用这么多的时间暴力转移。
但是可以发现有时候有些点会被来回算很多次，这样大量浪费了时间，所以莫涛大神就想到了一个方法，把这些询问离线的拍一次序，让有些点可以被算的次数少一些。

l=1;r=0;\\这样初始化可以避免一些不必要的步骤。
fo(i,1,m){
  k=a[i].a;t=a[i].b;
  if(k>l)update(l,k-1,-1);\\update的1表示加，-1表示减，具体操作因题而异。
  else if(k<l)update(k,l-1,1);
  if(t>r)update(r+1,t,1);
  else if(r>t)update(t+1,r,-1);
  l=k;r=t;
}

排序的方法是分块

把序列中的所有点按照$\sqrt n$来分块，然后所有询问的左端点所在的块为第一关键字，右端点为第二关键字，然后做一次双关键字排序，即可。

bool cmp(node x,node y){
    return x.d<y.d||x.d==y.d&&x.r<y.r;
}

很多人排序的时候是以右端点所在的块为第二关键字的，但是这样还慢一些。可以看看下面的时间复杂度分析，直接以右端点为第二关键字是最快的（注意是右端点，不是右端点所在的块）。

fo(i,1,m){
        scanf("%lld%lld",&a[i].a,&a[i].b);
        a[i].d=(a[i].a-1)/kuai+1;\\分块
        a[i].c=i;
    }
    sort(a+1,a+1+m,cmp);

创始人的改进

因为发现|l1-l|+|r1-r|是曼哈顿距离，所以把每个的询问看作是二维平面上的一个点，然后构造最小生成树，沿着树边走即可。

一般转移只用暴力即可

很少用大神说的那么复杂的方法，正常的暴力也挺快的。

时间复杂度分析

时间复杂度为$O(n^{1.5})$
有两个角度。
角度一：看看右端点。一个块的r最多到n，每次从上一个块到达下一个块的r复杂度为n，一共有$\sqrt n$个块，所以复杂度为$O({n}\sqrt {n})$。
角度二：看看左端点。每次左端点从一个块到另一个块的复杂度为$O(\sqrt n)$。在每一块中左指针的移动总量是$O(Q\sqrt n)$，Q是落在那个块的查询的数量。对于所有的块，总的复杂度为$O(n\sqrt n)$。
所以总的复杂度为$O(n\sqrt n)=O(n^{1.5})$

一些算法的限制

1、如前所述，该算法是离线的，这意味着当我们被强制按照特定的顺序查询时，我们不能再使用它。
2、有时加入删除操作比较困难会带个log，复杂度就会退化为$O(n\log n\sqrt n)$。不过有时这样连10^5都能过。
3、如果有待修改的话，就要用到待修改的莫队，不会的参见​​带修改的莫队算法学习小记​​。
其余的离线题目几乎都可以做。

原始的题目：小Z的袜子(算法的第一道题——入门题)

一道莫队算法的入门题。
​小Z的袜子​​