【NOIP提高】自然数

Description

Solution

mex是清华夏令营的题目，这道NOIP的题绝对比那道题难。

用50分预处理一个东西

设b[i]=mex(1,i)。
先用50分求出b数组。

推广

我们试着把mex(1,i)推到mex(2,i)。
那么我们需要删掉a[1]这个值。
假设右边第一个等于a[1]的位置是rr[1]。
我们考虑一下有影响的区间，假如第一个等于a[1]的位置是x（就是a[1]=a[x]），那么删掉了a[1]对mex(1,x…n)都没有影响，但是mex(1,1…x-1)可能会有影响。
因为mex(1,1…n)一定是单调递增的，所以删掉了a[1]会让第一个大于a[1]的mex的位置之后的那些mex受影响。
设第一个大于a[1]的mex的位置是o，那么mex(1,o…rr[1])的值都会被改为a[1]。
这些东西用线段树就可以解决了。
那么一次只用删掉a[1…n-1]。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int maxn=200007,mo=1000007;
int i,j,k,l,n,m;
int a[maxn],b[maxn],rr[maxn],hh[mo],wei[mo];
bool bz[maxn];
long long ans,ans1;
map<int,int>h; 
struct node{
    int da,biao;
    long long sum;
}t[maxn*10];
void merge(int x){
    t[x].sum=t[x*2].sum+t[x*2+1].sum;
    t[x].da=max(t[x*2].da,t[x*2+1].da);
}
void down(int x,int l,int r){
    int mid=(l+r)/2;
    if(t[x].biao!=-1){
        t[x*2].biao=t[x*2+1].biao=t[x].biao;
        t[x*2].sum=(mid-l+1)*t[x].biao;
        t[x*2+1].sum=(r-mid)*t[x].biao;
        t[x*2].da=t[x*2+1].da=t[x].biao;
        t[x].biao=-1;
    }
}
void build(int x,int l,int r){
    t[x].biao=-1;
    if(l==r){
        t[x].sum=t[x].da=b[l];
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    build(x*2,l,mid);
    build(x*2+1,mid+1,r);
    merge(x);
}
int find(int x,int l,int r,int y){
    if(l==r){
        if(t[x].sum<=y)return n+1;
        return l;
    }
    down(x,l,r);
    int mid=(l+r)/2;
    if(t[x*2].da<=y)return find(x*2+1,mid+1,r,y);
    else return find(x*2,l,mid,y);
}
int hash(int x){
    int o=x%mo;
    while(hh[o]!=x&&hh[o]!=0)o=(o+1)%mo;
    return o;
}
void change(int x,int l,int r,int y,int z,int o){
    if(y>z)return;
    down(x,l,r);
    if(l==y&&r==z){
        t[x].biao=t[x].da=o;
        t[x].sum=(r-l+1)*o;
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    if(z<=mid)change(x*2,l,mid,y,z,o);
    else if(mid<y)change(x*2+1,mid+1,r,y,z,o);
    else{
        change(x*2,l,mid,y,mid,o);
        change(x*2+1,mid+1,r,mid+1,z,o);
    }
    merge(x);
}
int main(){
    freopen("fan.in","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    fo(i,1,n)scanf("%d",&a[i]);
    fod(i,n,1){
        int u=hash(a[i]);
        rr[i]=wei[u];
        wei[u]=i;
        hh[u]=a[i];    
    }
    fo(i,1,n){
        h[a[i]]=1;
        while(h[ans1]!=0)ans1++;
        ans+=ans1;
        b[i]=ans1;
    }
    build(1,1,n);
    fo(i,1,n-1){
        int o=find(1,1,n,a[i]);
        if(rr[i])change(1,1,n,o,rr[i]-1,a[i]);
        else change(1,1,n,o,n,a[i]);
        ans+=t[1].sum;
    }

    printf("%lld\n",ans);
}