在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。这一类问题其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受；即使在空间上勉强通过，运行的时间复杂度也极高，根本就不可能在规定的运行时间（1～3秒）内计算出试题需要的结果，只能用并查集来描述。


定义

并查集（Disjoint Set），即“不相交集合”，是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。集就是让每个元素构成一个单元素的集合，也就是按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并。

将编号分别为1…N的N个对象划分为不相交集合，在每个集合中，选择其中某个元素代表所在集合。

常见两种操作：

  • 合并两个集合
  • 查找某元素属于哪个集合

用编号最小的元素标记所在集合；定义一个数组 set[1..n] ，其中set[i] 表示元素i 所在的集合；



并查集（Disjoint Set）_数组

算法实现

查找 Θ(1)


find1(x)
{
    return set[x];
}


合并 Θ(N)


Merge1(a,b)
{   
    i = min(a,b);
    j = max(a,b);
    for (k = 1; k <= N; k++) {
        if (set[k] == j)
            set[k] = i;
    }
}


对于“合并操作”，必须搜索全部元素！有没有可以改进的地方呢？

算法的优化

使用树结构

每个集合用一棵“有根树”表示，定义数组 set[1..n]

  • set[i] = i , 则i表示本集合，并是集合对应树的根
  • set[i] = j, j<>i, 则 j 是 i 的父节点. 


并查集（Disjoint Set）_并查集_02

查找 最坏情况Θ(N)


find2(x)
{
   r = x;
   while (set[r] != r)
      r = set[r];
   return r;
}


合并 Θ(1)


merge2(a, b)
{
    if (a<b)
       set[b] = a;
    else
       set[a] = b;
}


性能有无本质的改进？如何避免最坏情况呢？

优化--避免最坏情况


方法：将深度小的树合并到深度大的树


实现：假设两棵树的深度分别为h1和h2, 则合并后的树的高度h是:


max(h1,h2), if h1<>h2.


h1+1, if h1=h2.


效果：任意顺序的合并操作以后，包含k个节点的树的最大高度不超过lgk

优化后算法及效率：

查找 Θ(N)


find2(x)    
{
   r = x;
   while (set[r] != r)
      r = set[r];
   return r;
}


合并 Θ(1)


merge3(a,b)
{ 
    if (height(a) == height(b)) {
       height(a) = height(a) + 1;
       set[b] = a; 
    } else if (height(a) < height(b)) {
       set[a] = b;
    } else {  
       set[b] = a; 
    }
}


进一步优化--路径压缩


思想：每次查找的时候，如果路径较长，则修改信息，以便下次查找的时候速度更快


步骤:


  • 第一步，找到根结点
  • 第二步，修改查找路径上的所有节点，将它们都指向根结点

带路径压缩的查找算法：


find3(x)
{
      r = x;
      while (set[r]  !=  r) //循环结束，则找到根节点
          r = set[r];       
      i = x;
      while (i != r) //本循环修改查找路径中所有节点
      {   
          j = set[i];
         set[i] = r;
          i = j;
      }
}


路径压缩示意图:


并查集（Disjoint Set）_数组_03




某省调查城镇交通状况，得到现有城镇道路统计表，表中列出了每条道路直接连通的城镇。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个城镇间都可以实现交通（但不一定有直接的道路相连，只要互相间接通过道路可达即可）。问最少还需要建设多少条道路？


#include<iostream>
using namespace std;

int set[1001];

int find(int x){
  int r = x;
  while (r != set[r]){
    r = set[r];
  }
  
  int i = x;
  while (set[i] != r){
  int j = set[i];
  set[i] = r;
  i = j;
  }

  return r;
}

void merge(int a, int b){
  int r1 = find(a);
  int r2 = find(b);
  if (r1 > r2){
    set[r1] = r2;//注意这里是将set[r1]=r2;
  }
  else{
    set[r2] = r1;
  }
}

int main(){

  int N, M;

  //freopen("test.txt", "r", stdin);

  while (1){
    cin >> N;
    if (N == 0)
      break;
    cin >> M;

    for (int i = 1; i <= N; i++)
      set[i] = i;

    while (M--){
      int a, b;
      cin >> a >> b;
      merge(a, b);
    }
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= N; i++){
      if (set[i] == i)
        res++;
    }
    cout << res - 1 << endl;
  }


  return 0;
}