中科院自动化研究所2006招收攻读博士学位研究生入学统一考试科目：数学

考生须知：本试卷满分100分，全部考试时间总计180分钟

所有的答案必须写在答题纸上，写在试卷上或者草稿纸上一律无效。

$1.设A=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ -1 &4 \end{bmatrix}，计算e^{A}。$，

$2.设A=\begin{bmatrix} 1-i&3\\ 2&1+i \end{bmatrix}(i=\sqrt{-1})，计算范数\left \| A \right \| _{-1}，\left \| A \right \| _{2}，\left \| A \right \| _{\infty}$

3.设A是可逆矩阵，证明：对任意n维列向量$x$

和$y$，下述等式成立：$x^{T}A^{-1}y=\frac{det(A+yx^{T})}{det(A)}-1$

4.从单位圆周上独立地选取两点A，B试用几何概率方法计算：“圆心到弦AB的距离不小于1/2”这个事件的概率。

5.设X_{1},X_{2}独立，都服从标准正态分布N（0,1）。记$Y_{1}=max\left \{ X_{1},X_{2} \right \}$

,$Y_{2}=min\left \{ X_{1},X_{2} \right \}$,计算$E(Y_{1}),E(Y_{2})$

6.先验证：

$\rho (x;a,\sigma )=(\sqrt{2\pi \sigma ^{3} } )^{-1}(x-a)^{2} exp\left [- \frac{ 1 }{2\sigma ^{2}} (x-a)^2 \right ] ,$$-\infty<x<\infty$

,作为$x$的函数是概率密度，其中$a，\sigma$为参数，$-\infty <a<\infty,\sigma>0$.然后求解下列问题:设$X_{1},X_{2},X_{3},\cdots X_{n},$为来自总体的样本。（1）求$a，\sigma^{2}$的矩估计（2）写出$a，\sigma^{2}$的极大似然估计所满足的方程，并给出一种迭代求解方法

7.利用奇异值分解理论，讨论下述约束最小二乘问题的解：$\left \{ \begin{matrix} min\left \| Ax \right \|_{2} \\ s.t.\left \| Ax \right \|_{2}=1 \end{matrix} \right \}$其中，$A\in R^{m\times n} (m\ge n),x\in R^{n}$

8.设$n$元函数$f(x)$在$R^{n}$上有二阶连续偏导数，若$x^{0}$是$f(x)$的一个临界点并且$f(x)$在$x^{0}$的$Hessian$矩阵是可逆的，证明：存在$x^{0}$的一个邻域使得$f(x)$在该邻域内除$x^{0}$外没有其他临界点【提示：对$\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x),\frac{\partial f}{\partial x_{2},}(x) \cdot \cdot \cdot\frac{\partial f}{\partial x_{n}}(x)$应用中指定理】