算法篇 - 动态规划问题

原创

Jaemon 2022-12-03 00:32:02 博主文章分类：算法 ©著作权

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题目

有一座高度是10级台阶的楼梯, 从下往上走, 每跨一步只能向上1级或者2级台阶. 要求用程序来求出一共有多少种走法

公式推导

1： [1] = 1 种
2： [1，1]，[2] = 2 种
3： [1，1，1]，[1，2]，[2，1] = 3 种
4： [1，1，1，1]，[2，1，1]，[1，2，1]，[1，1，2]，[2，2] = 5 种
5： [1，1，1，1，1]，[2，1，1，1]，[1，2，1，1]，[1，1，2，1]，[1，1，1，2]，[2，2，1]，[2，1，2]，[1，2，2] = 8 种
…
n： f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)

逆向推导

假设楼梯有 n 阶, 则一共有 f(n) 种走法。假设此时站在第 n 阶往下走
第一次跨一步只跨1个台阶，则剩余 n - 1 阶台阶共有 f(n - 1) 种走法
第一次跨一步只跨2个台阶，则剩余 n - 2 阶台阶共有 f(n - 2) 种走法
即：f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)

方式1 - 递归实现

public class AnswerApp {

    public static void main(String[] args) {
        long startTime = System.currentTimeMillis();

        BigDecimal fn = f(100);

        System.out.println("fn: " + fn);

        long endTime = System.currentTimeMillis();

        System.out.println("execute time " + (endTime - startTime) / 1000 + " s.");
    }

    public static BigDecimal f(int n) {
        if (n < 0) {
            return new BigDecimal(0);
        } else if (n == 1 || n == 2) {
            return new BigDecimal(n);
        } else {
            return f(n - 1).add(f(n - 2));
        }
    }

}

方式2 - 递归+备忘录实现

public class AnswerApp {

    public static void main(String[] args) {
        long startTime = System.currentTimeMillis();

        BigDecimal fn = f(100, new HashMap<>());

        System.out.println("fn: " + fn);

        long endTime = System.currentTimeMillis();

        System.out.println("execute time " + (endTime - startTime) / 1000 + " s.");
    }

    public static BigDecimal f(int n, HashMap<Integer, BigDecimal> cache) {
        if (n < 0) {
            return new BigDecimal(0);
        } else if (n == 1 || n == 2) {
            return new BigDecimal(n);
        } else {
            if (cache.containsKey(n)) {
                return cache.get(n);
            }
            BigDecimal rlt = f(n - 1, cache).add(f(n - 2, cache));
            cache.put(n, rlt);
            return rlt;
        }
    }
    
}