【状压DP】哈密顿回路问题

【状压DP】哈密顿回路问题

lzq同学在我准备午睡的时候发了一道蓝桥杯的题目给我，是哈密顿回路的。第一次看的时候是想DFS+双向搜索优化减小搜索树规模，然后写烂了（如果有大佬用搜索优化写出来了麻烦教教我这蒟蒻）。
后来请教了ph大佬，说是状压dp。确实，以前蓝书上见到过一道最短哈密顿路径的状压DP，所以学了点相关知识

哈密顿图定义

哈密顿图
通过图中所有顶点一次且仅一次的通路称为哈密顿通路。
通过图中所有顶点一次且仅一次的回路称为哈密顿回路。
具有哈密顿回路的图称为哈密顿图。
具有哈密顿通路而不具有哈密顿回路的图称为半哈密顿图。

最短Hamilton路径

思路

暴力搞的话复杂度为$O(n*n!）$显然的NP难题，直接暴力很难搞

状态表示

f(i,j)

集合：所有从0走到j，走过的所有点是i的所有路径

属性：Min

状态计算

枚举倒数第二个点是哪个点，用倒数第二个点来分类

$f(i,j)=min(f(i-\{k\},k)+a(k,j))$

i的意义是一个集合，将这个集合转化为一个数，然后用位移运算来实现操作。

目标：$f(S(n),n-1)，S(n)=(1<<n)-1表示全部达到$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=20,M=1<<N;
LL g[N][N],f[M][N];
int n;
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            cin>>g[i][j];
            
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    
    f[1][0]=0;
    for(int i=0;i<(1<<n);i++)//集合状态
        for(int j=0;j<n;j++)
            if(i>>j&1)//看j点有没有到
                for(int k=0;k<n;k++)//枚举倒数第二个点
                    if(((i-(1<<j))>>k)&1)//i集合出去j点后k点也要存在
                        f[i][j]=min(f[i][j],f[i-(1<<j)][k]+g[k][j]);//状态计算最小值
    cout<<f[(1<<n)-1][n-1]<<endl;
    
    return 0;
}

蓝桥杯 E：回路计数

代码

状态表示

$f(i,j)$

集合：所有从1走到j，走过的所有点是i的所有路径

属性：方案数

状态转移：$f(i,j)=\sum_{k=0}^{n-1}f(i-(1<<j),k)$

目标：$\sum_{j=0}^{19}(f((1<<n)-1,j))$

初始化：20个起点为1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=20,M=1<<N;
LL st[N][N];
LL f[M][N];
int n;
int main()
{
    for(int i=0;i<N;i++)
        for(int j=0;j<N;j++)
            if(__gcd(i+2,j+2)==1)st[i][j]=1;
            
    for(int i=0;i<N;i++)f[1<<i][i]=1;//点集里只有自己，此时作为起点
    
    for(int i=0;i<(1<<N);i++)//集合状态
        for(int j=0;j<N;j++)
            if(i>>j&1)//看j点有没有到
                for(int k=0;k<N;k++)//枚举倒数第二个点
                    if(((i-(1<<j))>>k)&1)//i集合除去j点后k点也要存在
                        if(st[k][j])f[i][j]+=f[i-(1<<j)][k];//状态计算
    LL ans=0;
    for(int i=0;i<N;i++)ans+=f[(1<<N)-1][i];//(1<<N)-1一定要加括号！
    cout<<ans<<endl;
    
    return 0;
}

CodeForces 11D A Simple Task （待补）

​​https://codeforces.com/problemset/problem/11/D​​

思路

题目越短，难度越大hh
这道题就是求长度>=3的哈密顿路径数。
哈密顿回路状压DP计数，这题应该是蓝桥杯的原题了吧hh，远古题目对标当时CF2200分。哇，我怎么敢的呀。
​参考博客​​中学生吊锤大学生系列

由于去重比较恶心，所以这题暂时放一下，但是那个博客真滴很牛逼，强烈推荐看一看

代码

在这里插入代码片

小结

状态方程	表示含义
f(i,j)	从起点，路径经过节点状态集合为i，到目标点j
f(1<<i,i)	从0开始，路径上只有起点i
f(1<<(i-1),i)	从1开始，路径上只有起点i
f(i-(1<<j),k)	从0开始到k点，路径还没经过j
f(1<<S-1,j)	S表示总节点数，从起点0走到终点j，走完所有节点
if(i>>j&1)	看有没有走到j
if(((i-(1<<j))>>k)&1)	集合i除去节点j后是经过k的

区分起点0和1
起点初始化
走过所有集合的状态表示