ACM数学（待更新）

0X01 质数

质数判定

试除法 ACM数学板子_预处理

bool is_prime(long long x)
{
    if (x < 2) return false;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )//i*i<=x可能会溢出
        if (x % i == 0)return false;
    return true;
}

试除法优化ACM数学板子_#include_02

bool is_prime(ll a)
{
    if(a==1)return 0;
    if(a==2||a==3)return 1;
    if(a%6!=1&&a%6!=5)return 0;
    for(int i=5;i<=a/i;i+=6)
        if(a%i==0||a%(i+2)==0)return 0;
    return 1;
}

质数筛选

线性筛ACM数学板子_预处理_03

int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉，后面可以直接用来判是否为素数
//n只会被最小质因子筛掉
void get_primes(int n)
{
    memset(st,0,sizeof st);
    st[0]=st[1]=1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )//不要忘记等号
    {
        if (!st[i]) primes[++cnt] = i;
        for (int j = 1; primes[j] <= n / i; j ++ )//不要忘记等号
        {
            st[primes[j] * i] = true;//合数一定有最小质因数，用最小质因数的倍数筛去合数
            if (i % primes[j] == 0) break;//prime[j]一定是i最小质因子，也一定是prime[j]*i的最小质因子
        }
    }
}

质因数分解

试除法分解质因数ACM数学板子_预处理

void divide(int n)
{
  for(int i=2;i<n/i;i++)//不要忘记等号
    if(n%i==0)//i一定是质数 
    {
      int s=0;
      while(n%i==0)
      {
        n/=i;
        s++;
      }
      printf("%d %d\n",i,s);
    }
  if(n>1)printf("%d %d\n",n,1);//处理唯一一个>sqrt(n)的 
  puts(" ");
}

线性筛预处理分解质因数 ACM数学板子_预处理_05

//Author fishingrod
//CSDN:https://blog.csdn.net/qq_39354847
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize("Ofast")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define int long long

ll T,Q,n,m,k,p,ans,cnt,sum,tmp,num,last;
map<int,int>prime;
int pri[N],st[N];//st标记同时预处理除i对应最小质因子

inline void get_primes(int n)
{
  memset(st,0,sizeof st);
  st[0]=st[1]=1;
  for (int i = 2; i <= n; i ++ )
  {
    if (!st[i])
    {
       pri[++cnt]=i;
       st[i]=i;
    }
    for (int j = 1; pri[j] <= n / i; j ++ )
    {
      st[pri[j] * i]=pri[j];
      if (i % pri[j] == 0) break;
    }
  }
}
inline void divide(int x)
{
  prime.clear();
  while(x>1)
  {
    prime[st[x]]++;
    x/=st[x];
  }
}

signed main()
{
  n=scanf("%d",&n);
  get_primes(n);
  for(int i=2; i<=n; i++)divide(i);
  return 0;
}

0X02 约数

求约数集合

试除法求N的正约数集合ACM数学板子_预处理

vector<int>get_divisors(int n)
{
  vector<int>res;
  for(int i=1;i<=n/i;i++)//从1开始，约数啊
    if(n%i==0)
    {
      res.push_back(i);
      if(i!=n/i)res.push_back(n/i);//约数通常成对出现，特判完全平方 
    }
  sort(res.begin(),res.end());
  return res;
}

倍数法求1~N每个数的约数集合ACM数学板子_#include_07

约数个数
求多个数约数个数之和 ACM数学板子_预处理_08
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int mod=1e9+7;
int main()
{
  int n;
  cin>>n;
  unordered_map<int,int>primes;
  while(n--)
  {
    int x;
    cin>>x;
    for(int i=2;i<=x/i;i++)//可以用线性筛预处理优化
      while(x%i==0)
      {
        x/=i;
        primes[i]++;
      }
    if(x>1)primes[x]++;
  }
  LL res=1;
  for(auto prime:primes)res=res*(prime.second+1)%mod;
  cout<<res<<endl;
  return 0;
}
求阶乘约数个数之和
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int res=0,n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)res+=n/i;
    cout<<res;
    return 0;
}
整除分块
ans = 0;
for(int l = 1, r; l <= n; l = r + 1)//知道左端点和分块数值求右端点
{
    r = n / (n / l);
    ans += n / l * (r - l + 1);
}
GCD/LCM ACM数学板子_i++_09
ll gcd(ll a, ll b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
ll lcm(ll a,ll b)
{
    return a/gcd(a,b)*b;
}
互质与欧拉函数
欧拉函数
ll phi(ll x)
{
    ll res = x;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0)
        {
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);

    return res;
}
筛法求欧拉函数（1~n,欧拉函数之和）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=1e6+10;
ll primes[N],n,phi[N],cnt;
bool st[N];

ll get_eulers(ll n)
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i])
        {
            primes[cnt++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++)
        {
            st[i*primes[j]]=1;
            if(i%primes[j]==0)
            {
                phi[i*primes[j]]=phi[i]*primes[j];
                break;
            }
            phi[i*primes[j]]=phi[i]*(primes[j]-1);
        }
    }
    ll res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)res+=phi[i];
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    cout<<get_eulers(n);
    
}
0X03 组合计数
求组合数并取模
递推ACM数学板子_i++_10
for (int i = 0; i < N; i ++ )
    for (int j = 0; j <= i; j ++ )
        if (!j) c[i][j] = 1;
        else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;
逆元预处理ACM数学板子_#include_07
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 100010, mod = 1e9 + 7;


int fact[N], infact[N];


int qmi(int a, int k, int p)
{
    int res = 1;
    while (k)
    {
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        a = (LL)a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}


int main()
{
    fact[0] = infact[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i ++ )
    {
        fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;
        infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;
    }


    int n;
    scanf("%d", &n);
    while (n -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        printf("%d\n", (LL)fact[a] * infact[b] % mod * infact[a - b] % mod);
    }

    return 0;
}