Two Arrays

原创

caoanda 2022-11-03 15:20:28 博主文章分类：CF ©著作权

文章标签 记忆化搜索容斥原理 DP #define ios 文章分类 运维

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\(dp[i][j]\)表示有\(j\)个数每个数的范围为\(1～i\)时的非递减排列种数，因为 n 和 m 的数据范围也不大，用记忆化搜索很快可以得出每一个值。
再来看满足条件时的\((a,b)\)，\(a\)为非递减序列，\(b\)为非递增序列，所以\(b\)的最后一个数大于等于\(a\)的最后一个数是充要条件，因此我们只需要遍历\(a\)最后一个数即可得出答案，例如当\(a\)的最后一个数为3的时候，这部分的答案就应该是\((dp[3][m]-dp[2][m])*dp[n-3+1]\)，括号里是\(a\)的种数（利用容斥原理），括号外是\(b\)，因为\(b\)的范围是\(3～n\)，它的排列种数与\(1～(n-3+1)\)的排列种数相同。
手推一遍样例仔细找规律

代码：

// Created by CAD on 2020/1/15.
#include <bits/stdc++.h>
#define mst(name, value) memset(name,value,sizeof(name))
#define ll long long
using namespace std;

const int maxn=1005;
const int mod=1e9+7;
ll dp[maxn][15];
ll dfs(ll m,ll n)
{
    if(~dp[n][m]) return dp[n][m];
    if(m==1) return dp[n][m]=n;
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        ans=(ans+dfs(m-1,i))%mod;
    return dp[n][m]=(ans+mod)%mod;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    mst(dp,-1);
    int n,m;    cin>>n>>m;
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        ans=(ans+(dfs(m,i)-dfs(m,i-1))*dfs(m,n-i+1)%mod+mod)%mod;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}