参考:
欧拉函数 CF1295D Same GCDs
题意很明显要求出当\(k\in [a,a+m),gcd=gcd(a,m)\)时,满足\(gcd(k,m)=gcd\)的\(k\)的个数,由欧拉函数可以转换为\(gcd(k/gcd,m/gcd)=1,k\in [a,a+m)\),\(a\)和\(m\)肯定是\(gcd\)的倍数,那么假设\(a=x*gcd,m=y*gcd\),令\(i=k/gcd\),那么\(i\)的取值范围为\([x,x+y)\),那么最终要求的东西就是当\(i\in [x,x+y)\)时,满足\(gcd(i,y)=1\)的\(i\)的个数。
把\(i \in [x,x+y)\),分成两个区域\([x,y]\)和\((y,x+y)\)
我们先讨论\(i\in(y,x+y)\)时,由欧几里得定理可以得出\(gcd(i,y)=gcd(y,i\%y)=gcd(i\%y,y)\),再由\(i\in (y,x+y)\)可以化简所求东西为求\(i\in (0,x)\)时,满足\(gcd(i,y)\)的\(i\)的个数,而我们把这个区间与\([x,y]\)进行合并,就可以发现,我们要求的就是\(i\in [1,y]\)时满足\(gcd(i,y)=1\)的个数,即\(i\)与\(y\)互质,可以发现求的就是\(y\)的欧拉函数值。
代码: