图像处理之_卡尔曼滤波

1.      用途

根据一些已知的量来预测未知的量。常用于运动预测。

2.      定义

卡尔曼滤波（Kalmanfiltering）一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。
由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响，最优估计也可看作是滤波过程，因此叫作卡尔曼滤波。

3.      原理分析

1)       第一部分：预测值与误差

a)        假设你和我两个人每天给同一头猪测体重，但两个称都不准。你测x1斤，正负误差在σ1斤左右（假设预测成高斯分布，标准差反映了测量值好坏程度的不确定性），我测x2斤，正负误差在σ2斤左右。结合两个人的预测，简单计算猪的体重是x1和x2的平均值。

b)       假如我的称更准，即误差更小，σ2<σ1，结合两个人的测量，应该以我为主，因此根据误差加权组合。

（通过概率函数导数的最大值推出上述公式，不在此详述）

由公式可知：如果你的不确定性σ1越大，我的测量值x2在新均值中占的比例越大（权值更大）。c)        后来你走了，用上一次的加权平均（x1^,σ1^）替代你的测量，我的测量值仍是（x2, σ2）（此后我们把加权平均的结果称为预测值）。同样采取加权平均的算法，算出本次预测值（x2^,σ2^），这是一个迭代的过程。通过化简得到以下公式：

请注意，现在公式中的1,2不再代表你和我，而代表时间点，带^的为预测值，不带^的为测量值。也就是说新的预测值（x2^, σ2^）由前一个预测值（x1^, σ1^）和本次测量值（x2, σ2）求得。为简化公式引入更新率Ｋ，即卡尔曼增益(KalmanGain)。将公式简化为以下形式：

从简化之后的公式可知，K是由误差算出的，K用于预测新的x和误差σ。

由公式可知：前次预测的不确定性σ1^越大，K越大，我的预测x2越重要。

d)       综上，我们已经看到了最简单（单值且预测与测量的值相同）情况下的测量值与前次的预测值，是如何预测之后的值x与误差σ的，下面我们将它推广到更复杂的情况。

2)       第二部分：如何预测

a)        已知当前点的状态，如何预测下一时间点的状态。
首先要考虑猪前一天的状态Xk-1，猪的成长变化，正常情况下每天长两斤（F）；它每跑步一圈减半斤（B），某天可能跑（uk）圈；还要考虑天气等不可控外力（wk）。因此，猪从第k天的体重Xk由下式预测：

总之，想预测他的未来，先要知道它之前的状态，自身成长系数，培养教育，对培养教育的反应，以及不可控的机遇，人也是一样哈。b)       后来，称猪的称丢了，现在只有一个尺子，我们通过量猪腰围Zk。然后乘以系数Hk，来估计猪的体重，同时还要考虑尺子的测量误差vk。

此时，测量值和预测值已经不是同一属性了。

c)        再后来，发现只量腰围还不够，还需要量身高，也就是说Zk不再是单一变量，而是一组向量，此时H就变成了一个矩阵，用于转换测量维度z和预测维度x。
同理我们可能预测更多的x状态，比如猪的大小，体脂；另外影响猪长肉的外在因素也不只跑圈，可能还有喂食多少。此时上述公式就从一维扩展到了N维。公式中的F,B,H,w,v是一维到多维矩阵。x ,u, z是一维到多维向量。
但本质没变，都是通过测量值和之前预测值的误差，求卡尔曼增益，然后进行下一次预测。

d)       综上，即是卡尔曼方程

xk是k时刻的系统状态，是一个n维状态向量。

F是传递矩阵，它是一个nxn的矩阵，描述的是xk-1与xk间变化的关系。它是变化的内因。

uk是k时刻的控制输入，它是变化的外因，它由c维向量组成。

B是控制矩阵，它是一个nxc的矩阵，它是变化的外因。

wk是过程噪声，它是具有高斯分布的随机事件，nxn的协方差矩阵。

zk是k时刻的测量值，是一个m维状态向量。

Hk是测量矩阵，它是mxn的矩阵。描述的是Xk与Zk间的关系。

Vk是测量误差，它是具有高斯分布的随机事件，mxm的协方差矩阵。

3)       第三部分：复杂的多维数据代入加权平均算法

a)        至此我们看到了x和x^是如何变化的，下面来考虑σ以及K。

Xk^是对Xk的预测，对应第一部分中的x。

Pk^是误差协方差矩阵，对应第一部分中的误差σ。

Qk-1是过程噪声。

Kk是卡尔曼增益。

Rk是测试噪声。

4.      相关程序

在opencv中使用kalman预测的效果，可通过例程opencv/samples/cpp/kalman.cpp调用。
程序基本分为三个部分：初始化，预测，更新。在初始化时，我们先指定传递矩阵，控制矩阵，测量矩阵，噪声矩阵；迭代过程中通过测量值更新；预测新的状态。
Kalman的具体实现，请参考程序opencv/modules/video/src/kalman.cpp，下面是其预测和更新部分（对应第三部分的公式）：

const Mat& KalmanFilter::predict(const Mat& control)
{
    CV_INSTRUMENT_REGION()

    // update the state: x'(k) = A*x(k)，通过xk-1^预测xk^
    statePre = transitionMatrix*statePost;

    if( !control.empty() )
        // x'(k) = x'(k) + B*u(k)，计算外因影响：控制矩阵
        statePre += controlMatrix*control;

    // update error covariance matrices: temp1 = A*P(k)
    temp1 = transitionMatrix*errorCovPost;

    // P'(k) = temp1*At + Q，更新误差Pk^
    gemm(temp1, transitionMatrix, 1, processNoiseCov, 1, errorCovPre, GEMM_2_T);

    // handle the case when there will be measurement before the next predict.
    statePre.copyTo(statePost);
    errorCovPre.copyTo(errorCovPost);

    // 至此可以看到，预测后得到了xk^，以及误差Pk^
    return statePre;
}

const Mat& KalmanFilter::correct(const Mat& measurement)
{
    CV_INSTRUMENT_REGION()

    // temp2 = H*P'(k)
    temp2 = measurementMatrix * errorCovPre;

    // temp3 = temp2*Ht + R
    gemm(temp2, measurementMatrix, 1, measurementNoiseCov, 1, temp3, GEMM_2_T);

    // temp4 = inv(temp3)*temp2 = Kt(k)
    solve(temp3, temp2, temp4, DECOMP_SVD);

    // K(k)，卡尔曼增益K
    gain = temp4.t();

    // temp5 = z(k) - H*x'(k)，见第一部分中的x2-x1^
    temp5 = measurement - measurementMatrix*statePre;

    // x(k) = x'(k) + K(k)*temp5，计算xk-1^
    statePost = statePre + gain*temp5;

    // P(k) = P'(k) - K(k)*temp2，计算误差
    errorCovPost = errorCovPre - gain*temp2;

    return statePost;
}