数学之美不但体现在漂亮的结论和精妙的证明上，那些尚未解决的数学问题也有让人神魂颠倒的魅力。和哥德巴赫猜想、黎曼假设不同，有些悬而未解的问题趣味性很强，“数学性”却非常弱，乍看上去并没有触及深刻的数学理论，似乎是一道可以被瞬间秒杀的数学趣题，让数学爱好者们“不找到一个巧解就不爽”；但令人称奇的是，它们的困难程度却不亚于那些著名的数学猜想，这或许比各个领域中艰深的数学难题更折磨人吧。
01
3x+1问题
从任意一个正整数开始，重复对其进行下面的操作：如果这个数是偶数，把它除以2；如果这个数是奇数，则把它扩大到原来的3倍后再加1。序列是否最终总会变成4, 2, 1, 4, 2, 1, … 这种循环？
这个问题可以说是一个“坑”——乍看之下，问题非常简单，突破口很多，于是数学家们纷纷往里面跳；殊不知进去容易出来难，不少数学家到死都没把这个问题搞出来。已经中招的数学家不计其数，这可以从
问题的各种别名看出来：
问题又叫科拉兹（Collatz）猜想、叙拉古（Syracuse）问题、角谷猜想、哈斯（Hasse）算法和乌拉姆（Ulam）问题等。后来，由于命名争议太大，干脆让谁都不沾光，直接叫做
问题算了。
问题不是一般地困难。这里举一个例子说明数列收敛有多么没规律。从26开始算起，10步就掉入了“421陷阱”：
26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …
但是，从27开始算起，数字会一路飙升到几千之大，你很可能会一度认为它脱离了“421陷阱”。但是，经过上百步运算后，它还是跌了回来：
27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …
02
196问题
如果一个数正读反读都一样，我们就把它叫做“回文数”。随便选一个数，不断加上把它反过来写之后得到的数，直到得出一个回文数为止。例如，所选的数是67，两步就可以得到一个回文数484：
67 + 76 = 143
143 + 341 = 484
把69变成一个回文数则需要四步：
69 + 96 = 165
165 + 561 = 726
726 + 627 = 1353
1353 + 3531 = 4884
89的“回文数之路”则特别长，要到第24步才会得到第一个回文数，8 813 200 023 188。
大家或许会想，不断地“一正一反相加”，最后总能得到一个回文数，这当然不足为奇了。事实似乎也确实是这样的——对于几乎所有的数，按照规则不断加下去，迟早会出现回文数。不过，196却是一个相当引人注目的例外。数学家们已经用计算机算到了3亿多位数，都没有产生过一次回文数。从196出发，究竟能否加出回文数来？196究竟特殊在哪儿？这至今仍是个谜。
03
随机01串的最长公共子序列
如果从数字序列A中删除一些数字就能得到数字序列 B ，我们就说B是 A的子序列。例如，110是010010的子序列，但不是001011的子序列。两个序列的“公共子序列”有很多，其中最长的那个就叫做“最长公共子序列”。
04
图 1
不过，目前还没有人能够证明这一点。而最近的一些研究表明，数字1的比例很可能不是
。当然，还有第三种可能——这个极限可能根本不存在。
05
吉尔布雷思猜想
从小到大依次列出所有的质数：
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …
求出相邻两项之差：
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, …
现在，再次求出所得序列中相邻两项之差，又会得到一个新的序列：
1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, …
重复对所得序列进行这样的操作，我们还可以依次得到
1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 2, …
大家会发现一个有趣的规律：每行序列的第一个数都是1。
某日，数学家诺曼•吉尔布雷思（Norman L. Gilbreath）闲得无聊，在餐巾上不断对质数序列求差，于是发现了上面这个规律。吉尔布雷思的两个学生对前64 419行序列进行了检验，发现这个规律始终成立。1958年，吉尔布雷思在一个数学交流会上提出了他的发现，吉尔布雷思猜想由此诞生。
这个规律如此之强，很少有人认为猜想不成立。1993年，安德鲁•奥德里兹科（Andrew Odlyzko）对10 000 000 000 000以内的质数（也就是346 065 536 839行）进行了检验，也没有发现反例。
不过，这一看似简单的问题，几十年来硬是没人解决。
06
55, 44, 33, 22, 11
54, 54, 33, 22, 11
54, 43, 53, 22, 11
54, 43, 32, 52, 11
54, 43, 32, 21, 51
54, 43, 21, 32, 51
54, 31, 42, 32, 51
41, 53, 42, 32, 51
41, 32, 54, 32, 51
41, 32, 42, 53, 51
41, 32, 42, 31, 55
41, 32, 21, 43, 55
41, 21, 32, 43, 55
11, 42, 32, 43, 55
11, 22, 43, 43, 55
11, 22, 33, 44, 55
09
曲线的内接正方形
证明或推翻，在平面中的任意一条简单封闭曲线上，总能找到4个点，它们恰能组成一个正方形。
这样一个看上去如此基本的问题，竟然没有被解决！目前，对于充分光滑的曲线，似乎已经有了肯定的结论；但对于任意曲线来说，这仍然是一个悬而未解的问题。平面上的曲线无奇不有，说不准我们真能精心构造出一种不满足要求的怪异曲线。
10
多面体的展开
证明或推翻，总可以把一个凸多面体沿着棱剪开，展开成一个简单的（也就是不与自身相交的）平面多边形。
这是一个看上去很“自然”的问题，或许大家在玩弄各种纸制包装盒的时候，就已经思考过这个问题了。现在，人们已经找到了不满足条件的凹多面体，也就是说存在凹多面体，无论怎样展开它都会不可避免地得到与自身重叠的平面多边形。同时，确实也存在一些凸多面体，按照某种方式展开它后，会得到与自身重叠的平面多边形。不过，对于某个凸多面体，任何一种方法都不能把它展开到一个平面上，这听上去似乎不大可能；然而，在数学上这一点却一直没被证明。
图 3
图 4
图 5
数学家们似乎更倾向于相信，当
足够大时，总会发生无解的情况。埃尔德什悬赏50美元征求当
足够大时问题无解的证明，同时悬赏500美元征求对任意
都适用的构造解。
12
13
Thrackle猜想
在纸上画一些点，再画一些点与点之间的连线，我们就把所得的图形叫做一个“图”。如果一个图的每根线条都与其他所有线条恰好相交一次（顶点处相接也算相交），那么就把这个图叫做一个thrackle。图6显示的就是三个满足要求的thrackle，注意到它们的线条数量都没有超过顶点的数量。问，是否存在线条数大于顶点数的thrackle？
图 6
这个问题是由数学家约翰•康威提出来的。这明显又是一个坑，看到这个问题谁都想试试，然后就纷纷崩溃掉。康威悬赏1000美元征解，可见这个问题有多么不容易。目前已知的最好的结果是，一个thrackle的线条数不会超过顶点数的
倍。
14
拉姆齐问题
有这么一个定理：6个人参加一个聚会，其中某些人之间握过手，那么一定存在3个人互相之间都握过手，或者3个人互相之间都没握过手。我们可以借助鸽笼原理④很快证明这个结论。选出其中一个人A，然后把剩下的5个人分成2组，和A握过手的，以及没和A握过手的。显然，其中一组至少有3个人。不妨假设和A握过手的那一组至少有3个人吧。（在另一种情况下，下述推理同样适用。）把这一组里的3个人分别记作B、C、D（如果这一组的人数大于3，任意选3个人就行了）。如果B、C、D这3个人之间有2个人握过手，那么这2个人和A就成了互相之间握过手的3人组；如果B、C、D这3个人之间都没握过手，那么他们本身就成了互相之间都没握过手的3人组。
④ 假设有只鸽子飞回个笼子，如果
的话，那么一定有至少一个笼子，它里面有不止一只鸽子。事实上，至少有一个笼子，它里面有不少于
只鸽子，其中
表示大于等于
的最小整数。鸽笼原理是组合数学中的一个重要工具，今后我们还会用到。
1930年，英国数学家弗兰克•拉姆齐（Frank Ramsey）证明了一个更强的结论：给定两个正整数和，总能找到一个，使得一场人聚会中，或者存在个人互相之间都握过手，或者存在个人互相之间都没握过手。我们把满足条件的最小的记作
。前面我们已经证明了，6个人足以产生互相都握过手的3个人或者互相都没握过手的3个人，也就是说
。但5个人是不够的，比方说只有A和B、B和C、C和D、D和E、E和A之间握手，容易看出不管选哪3个人，握过手的和没握过手的总是并存的。因此，
精确地等于6。求出
的精确值出人意料地难。目前已经知道
，但对于
，我们只知道它介于43到49之间，具体的值至今仍未求出来。如果要用计算机硬求
，则计算机需要考虑的情况数大约在
这个数量级，这是一个不可能完成的任务。而
就更大了，目前已知它在102到165的范围内。它的准确值是多少，恐怕我们永远都不可能知道了。埃尔德什曾经说过，假如有一支异常强大的外星人军队来到地球，要求人类给出
的准确值，否则就会摧毁地球，那么他建议，此时我们应该集结全世界所有数学家的智慧和全世界所有计算机的力量，试着求出
来。但是，假如外星人要求人类给出
的准确值，那么他建议，我们应该试着摧毁外星人军队。
15
维恩图并不简单
给定n个集合后，每一个元素都拥有了自己的位置。比方说，若有“质数”、“两位数”、“个位是3的数”这3个集合，则31就只属于前两个集合，而102则不属于任一个集合。我们往往会像图7左边那样，把这些集合抽象成一个个圆圈并画在同一平面上，然后把各个元素填入图中适当的区域，从而直观地展示出每个元素的所属情况。这样的图就叫做维恩（Venn）图。为了展示出由这n个集合产生的所有关系，维恩图需要有2_n_个区域（包括最外面的那个区域）。
画惯了3个集合的维恩图，很多人都会认为，像图7右边那样把4个圆圈画成一朵花，就是4个集合的维恩图了。其实这是不对的——4个圆只能产生14个区域，而4个集合将会交出16种情况。如果把4个圆圈像图7右边那幅图一样排列，就少了2个区域：只属于左下角的圆和右上角的圆的区域，以及只属于左上角的圆和右下角的圆的区域。
图 7
那么，是不是4个集合的维恩图就没法画了呢？也不是。如果你不是一个完美主义者，你可以像图8那样，把3个集合的维恩图扩展到4个集合；虽然看上去非常不美观，但是从拓扑学的角度来说，只要逻辑上正确无误，谁管它画得圆不圆呢。
图 8
大家会自然而然地想到一个问题：右边这个图是否还能继续扩展成5个集合的维恩图呢？更一般地，是否随便什么样的个集合的维恩图都可以扩展到
个集合呢？
令人难以置信的是，这个问题竟然还没被解决！事实上，对满足各种条件的维恩图的研究是一个经久不衰的话题，与维恩图相关的猜想绝不止这一个。
16
遍历所有的“中间子集” 证明或推翻，你可以通过每次添加或者删除一个元素，循环遍历集合
的所有大小为或
的子集。例如，当
时，你可以通过以下路径循环遍历
的所有包含2个元素或者3个元素的子集：
{1, 2} → {1, 2, 3} → {1, 3} → {1, 3, 4} → {1, 4} → {1, 2, 4} → {2, 4} → {2, 4, 5} → {4, 5} → {1, 4, 5} → {1, 5} → {1, 3, 5} → {3, 5} → {3, 4, 5} → {3, 4} → {2, 3, 4} → {2, 3} → {2, 3, 5} → {2, 5} → {1, 2, 5} → {1, 2}
看完上面的这段内容，我可以想象你已经有一种克制不住的冲动，拿起铅笔和草稿纸，或者跑到电脑前，开始寻找不大时的规律。这可以说是本文的所有问题中最大的一个坑了——这个问题极具诱惑性，任何人第一次看到这个问题时都会认为存在一种对所有都适用的构造解，于是众人一个接一个地往坑里跳，拦都拦不住。
几乎没有人认为这个猜想是错误的。目前计算机已经验证了，当
时，猜想都是成立的。从已有数据来看，随着的增加，遍历这些子集的方案数不但也随之增加，而且增长得非常快。到了某个，方案数突然跌到了0，这明显是一件极不可能发生的事。但是，几十年过去了，却没有人能够证明它！
17
出现次数超过一半的元素
令是一个有限集合，,, …,都是的非空子集，它们满足任意多个集合的并集仍然在这些集合里。证明，一定能找到某个元素，它在至少一半的集合里出现。
不可思议，即使是最基本最离散的数学研究对象——有限集合——里面，也有让人崩溃的未解问题。
1999年，彼达斯•沃伊奇克（Piotr Wojcik）用一种非常巧妙的方法证明了，存在一个元素在至少
个集合里出现。不过，这离目标还有很大一段距离。
作者：顾森
本书是一个疯狂数学爱好者的数学笔记，面向所有喜爱数学的读者。本书包括5部分内容，即生活中的数学、数学之美、几何的大厦、精妙的证明、思维的尺度，涉及48篇精彩的文章。即使你不喜欢数学，也会为本书的精彩所倾倒。
