RSA加密

RSA算法基于一个事实：将两个大素数相乘十分容易，但是想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥。

具体流程是：

hdu 1211 RSA

​​http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1211​​

按照题目所讲的步骤来就行。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(b==0){
        x=1;   y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    LL t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
}
LL power(LL a,LL p,LL m){
    LL ans=1;
    while(p){
        if(p&1) ans=ans*a%m;
        a=a*a%m;
        p>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    LL p,q,e,l;
    LL c;
    while(~scanf("%lld%lld%lld%lld",&p,&q,&e,&l)){
        LL n=p*q;
        LL fn=(p-1)*(q-1);
        LL d,y,m;
        exgcd(e,fn,d,y);
        d=(d%fn+fn)%fn;
        while(l--){
            scanf("%lld",&c);
            m=power(c,d,n);
            printf("%c",m);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

POJ 2447 RSA 

​​http://poj.org/problem?id=2447​​

大意：两个素数P,Q  N=P*Q

T=(P-1)(Q-1)   

0<E<N    
(E,T)=1

≡ 1 (mod T)

加密过程：C = (M ^ E) mod N

解密过程： M = (C ^ D) mod N

求出M   (0 < C < N, 0 < E < N, 0 < N < 2 ^ 62). 

因为 (E,T)=1互质，由欧拉定理可以得到E模T的逆元。剩余的工作就是套用原理公式。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=5;
LL fac[N],num[N];
int cnt;
LL gcd(LL a,LL b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
LL multi(LL a,LL b,LL m){
    LL ans=0;
    while(b){
        if(b&1) ans=(ans+a)%m;
        a=(a+a)%m;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
LL quick_mod(LL a,LL p,LL m){
    LL ans=1;
    while(p){
        if(p&1) ans=multi(ans,a,m);
        a=multi(a,a,m);
        p>>=1;
    }
    return ans;
}
LL Pollard_rho(LL n,LL c){
    LL x,y,k=2,i=1;
    x=rand()%(n-1)+1;
    y=x;
    while(1>0){
        i++;
        x=(multi(x,x,n)+c)%n;
        LL d=gcd((y-x+n)%n,n);
        if(1<d&&d<n) return d;
        if(y==x)  return n;   // 出现循环
        if(i==k) {
            y=x;
            k<<=1;  //x 比y多跑一圈
        }
    }
}
bool Miller_rabin(LL p){
    if(p==2) return 1;
    if(p<2 || (p&1)==0) return 0;
    LL m=p-1;
    int sum=0;
    while((m&1)==0){
        m>>=1;
        sum++;
    }
    for(int i=0;i<10;i++){
        LL a=rand()%(p-1)+1;
        LL x=quick_mod(a,m,p);
        LL g=0;
        for(int j=0;j<sum;j++){
            g=multi(x,x,p);
            if(g==1&&x!=1&&x!=p-1)  return 0;
            x=g;
        }
        if(g!=1) return 0;
    }
    return 1;
}

void sfind(LL n,LL c){
    if(n==1) return ;
    if(Miller_rabin(n)){
        fac[cnt++]=n;
        return ;
    }
    LL p=n;
    while(p>=n) p=Pollard_rho(p,c--);  //循环避免没找到
    sfind(p,c);
    sfind(n/p,c);
}
LL phi(LL x){
    LL ans=x;
    for(LL i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0){
            ans=ans-ans/i;
            while(x%i==0) x/=i;
        }
    }
    if(x>1) ans=ans-ans/x;  
    return ans;
}
int main()
{
    LL c,e,n;
    while(~scanf("%lld %lld %lld",&c,&e,&n)){
        cnt=0;
        sfind(n,120);
        LL t=(fac[0]-1)*(fac[1]-1);
        LL D=quick_mod(e,phi(t)-1,t);
        printf("%lld\n",quick_mod(c,D,n));
    }
    return 0;
}