bzoj4869 [Shoi2017]相逢是问候

原创

elijahqi 2022-08-08 16:26:52 博主文章分类：数学 ©著作权

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http://www.elijahqi.win/2018/03/08/bzoj4869/
Description

Informatikverbindetdichundmich.
信息将你我连结。B君希望以维护一个长度为n的数组，这个数组的下标为从1到n的正整数。一共有m个操作，可以
分为两种：0 l r表示将第l个到第r个数（al,al+1,…,ar）中的每一个数ai替换为c^ai，即c的ai次方，其中c是
输入的一个常数，也就是执行赋值ai=c^ai1 l r求第l个到第r个数的和，也就是输出：sigma(ai),l<=i<=rai因为
这个结果可能会很大，所以你只需要输出结果mod p的值即可。

Input

第一行有三个整数n,m,p,c，所有整数含义见问题描述。
接下来一行n个整数，表示a数组的初始值。
接下来m行，每行三个整数，其中第一个整数表示了操作的类型。
如果是0的话，表示这是一个修改操作，操作的参数为l,r。
如果是1的话，表示这是一个询问操作，操作的参数为l,r。
1 ≤ n ≤ 50000, 1 ≤ m ≤ 50000, 1 ≤ p ≤ 100000000, 0 < c < p, 0 ≤ ai < p

Output

对于每个询问操作，输出一行，包括一个整数表示答案mod p的值。

Sample Input

4 4 7 2
1 2 3 4
0 1 4
1 2 4
0 1 4
1 1 3
Sample Output

0
3
HINT

鸣谢多名网友提供正确数据，已重测！

Source

这题不知道欧拉函数降幂公式真没法做全程感谢tgptp&zyy的支持才让辣鸡蒟蒻我做完了这题

首先欧拉函数是< n的所有正整数里于n互质的有多少个有个性质在于如果n!=2那么一定函数值是偶数也是后面保证复杂度的前提

公式

利用这个公式记得只有在>=phi[p]的时候才成立但是记得某个巨佬里提到过如果不判断这个条件也只会在n=6的时候失效所以数据可以不判断

A^B(mod p)≡A^(b%φ(p)+φ(p)) 因为上面提到的性质所以这个φ(p)最多递归Log次注意当为1的时候也需要递归具体原因在bzoj的discuss里面提到过为什么这个是对的直接搞指数取mod为什么不对因为我要取的mod不是p而是φ(p)或者φ(φ(p)) 那么这样的话做法就类似之前的一个cf题每次做的时候判断这个区间是否已经被做了log次了如果是这样好这个区间答案不会再改变了否则暴力改下去复杂度均摊log(n)算上一共是n*log(n)个区间还有每次快速幂的log 一共是log^3我的尝数不优秀直接tle了那么考虑怎么优化看了看题解我可以前 2^16 分一组后2^16分一组因为底数都是相同的所以可以直接预处理出来做到近似o(1)回答

n*log(n)^2

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define N 55000
using namespace std;
inline char gc(){
    static char now[1<<16],*S,*T;
    if (T==S){T=(S=now)+fread(now,1,1<<16,stdin);if (T==S) return EOF;}
    return *S++;
}
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=gc();
    while(ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=-1;ch=gc();}
    while(ch<='9'&&ch>='0') x=x*10+ch-'0',ch=gc();
    return x*f;
}
struct node{
    int left,right,sum,cnt;bool tag;
}tree[N<<1];
int phi[31],num,tot,n,m,p,c,a[N],root,table[31][1<<17],table1[31][1<<17];
inline int c_p(int x){
    int tmp=x;
    for (int i=2;i<=sqrt(x);++i) {
        if (x%i) continue;tmp=tmp/i*(i-1);
        while(x%i==0) x/=i;
    }if (x!=1) tmp/=x,tmp*=(x-1);
    return tmp;
}
inline int pow(int x,int t,int mod){
    int tmp=1;
    for (;t;x=(ll)x*x%mod,t>>=1) if (t&1) tmp=(ll)tmp*x%mod;
    return tmp;
}
inline void init(){
    for (int i=0;i<=tot;++i){
        int tmp=pow(c,1<<16,phi[i]);table[i][0]=table1[i][0]=1;
        for (int j=1;j<(1<<16);++j){
            table[i][j]=(ll)table[i][j-1]*c%phi[i];
            table1[i][j]=(ll)table1[i][j-1]*tmp%phi[i];
        }

    }
}
inline void update(int x){
    int l=tree[x].left,r=tree[x].right;tree[x].tag=1;
    tree[x].sum=(tree[l].sum+tree[r].sum)%p;
    if (l)tree[x].tag&=tree[l].tag;if(r) tree[x].tag&=tree[r].tag;
}
inline void build(int &x,int l,int r){
    x=++num;if (l==r) {tree[x].sum=a[l];return;}
    int mid=l+r>>1; build(tree[x].left,l,mid);
    build(tree[x].right,mid+1,r);update(x);
}
inline int pow1(int x,int md){
    return (ll)table[md][x&((1<<16)-1)]*table1[md][x>>16]%phi[md];
}
inline int calc(int x,int t){
    int tmp=x;if (tmp>phi[t]) tmp=tmp%phi[t]+phi[t];
    while(t--){
        tmp=pow1(tmp,t);if (!tmp&&t) tmp+=phi[t];
    }return tmp%phi[0];
}
inline void insert1(int x,int l,int r,int l1,int r1){
    if (l1<=l&&r1>=r&&tree[x].tag) return;int mid=l+r>>1;
    if (l==r) {
        ++tree[x].cnt;tree[x].sum=calc(a[l],tree[x].cnt);
        if (tree[x].cnt==tot) tree[x].tag=1;return;
    }
    if (l1<=mid) insert1(tree[x].left,l,mid,l1,r1);
    if (r1>mid) insert1(tree[x].right,mid+1,r,l1,r1);update(x);
}
inline int query(int x,int l,int r,int l1,int r1){
    if (l1<=l&&r1>=r) return tree[x].sum;int mid=l+r>>1,tmp=0;
    if (l1<=mid) tmp+=query(tree[x].left,l,mid,l1,r1);
    if (r1>mid) tmp+=query(tree[x].right,mid+1,r,l1,r1);return tmp%p;
}
inline void print(int x,int l,int r){
    int mid=l+r>>1;
    if (tree[x].left) print(tree[x].left,l,mid);
    printf("%d %d %d\n",l,r,tree[x].sum);
    if (tree[x].right) print(tree[x].right,mid+1,r); 
}
int main(){
    //freopen("bzoj4869.in","r",stdin);
    //freopen("bzoj4869.out","w",stdout);
    n=read();m=read();p=read();c=read();
    phi[0]=p;tot=0;while(phi[tot]-1) ++tot,phi[tot]=c_p(phi[tot-1]);phi[++tot]=1;
    //for (int i=0;i<=tot;++i) printf("%d,phi[i]);puts("");
    init();
    for (int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();build(root,1,n);
    for (int i=1;i<=m;++i){
        int op=read(),l=read(),r=read();
        if(op==0) insert1(root,1,n,l,r);else printf("%d\n",query(root,1,n,l,r));
    //  print(root,1,n);puts("--------");
    }//puts("");
    return 0;
}

n*log(n)^3

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define N 55000
using namespace std;
inline char gc(){
    static char now[1<<16],*S,*T;
    if (T==S){T=(S=now)+fread(now,1,1<<16,stdin);if (T==S) return EOF;}
    return *S++;
}
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=gc();
    while(ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=-1;ch=gc();}
    while(ch<='9'&&ch>='0') x=x*10+ch-'0',ch=gc();
    return x*f;
}
struct node{
    int left,right,sum,cnt;bool tag;
}tree[N<<1];
int phi[31],num,tot,n,m,p,c,a[N],root;
inline int c_p(int x){
    int tmp=x;
    for (int i=2;i<=sqrt(x);++i) {
        if (x%i) continue;tmp=tmp/i*(i-1);
        while(x%i==0) x/=i;
    }if (x!=1) tmp/=x,tmp*=(x-1);
    return tmp;
}
inline void update(int x){
    int l=tree[x].left,r=tree[x].right;tree[x].tag=1;
    tree[x].sum=(tree[l].sum+tree[r].sum)%p;
    if (l)tree[x].tag&=tree[l].tag;if(r) tree[x].tag&=tree[r].tag;
}
inline void build(int &x,int l,int r){
    x=++num;if (l==r) {tree[x].sum=a[l];return;}
    int mid=l+r>>1; build(tree[x].left,l,mid);
    build(tree[x].right,mid+1,r);update(x);
}
inline int pow(int x,int t,int mod,bool &pd){
    int tmp=1;
    for (;t;pd|=(ll)x*x>=mod,x=(ll)x*x%mod,t>>=1) {
        if (t&1) pd|=(ll)tmp*x>=mod,tmp=(ll)tmp*x%mod;
    }return tmp;
}
inline int calc(int x,int t){
    int tmp=x;if (tmp>phi[t]) tmp=tmp%phi[t]+phi[t];
    while(t--){
        bool pd=0;
        tmp=pow(c,tmp,phi[t],pd);if (pd) tmp+=phi[t];
    }return tmp%phi[0];
}
inline void insert1(int x,int l,int r,int l1,int r1){
    if (l1<=l&&r1>=r&&tree[x].tag) return;int mid=l+r>>1;
    if (l==r) {
        ++tree[x].cnt;tree[x].sum=calc(a[l],tree[x].cnt);
        if (tree[x].cnt==tot) tree[x].tag=1;return;
    }
    if (l1<=mid) insert1(tree[x].left,l,mid,l1,r1);
    if (r1>mid) insert1(tree[x].right,mid+1,r,l1,r1);update(x);
}
inline int query(int x,int l,int r,int l1,int r1){
    if (l1<=l&&r1>=r) return tree[x].sum;int mid=l+r>>1,tmp=0;
    if (l1<=mid) tmp+=query(tree[x].left,l,mid,l1,r1);
    if (r1>mid) tmp+=query(tree[x].right,mid+1,r,l1,r1);return tmp%p;
}
inline void print(int x,int l,int r){
    int mid=l+r>>1;
    if (tree[x].left) print(tree[x].left,l,mid);
    printf("%d %d %d\n",l,r,tree[x].sum);
    if (tree[x].right) print(tree[x].right,mid+1,r); 
}
int main(){
    //freopen("bzoj4869.in","r",stdin);
    //freopen("bzoj4869.out","w",stdout);
    n=read();m=read();p=read();c=read();
    phi[0]=p;tot=0;while(phi[tot]-1) ++tot,phi[tot]=c_p(phi[tot-1]);phi[++tot]=1;
    //for (int i=0;i<=tot;++i) printf("%d,phi[i]);puts("");
    for (int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();build(root,1,n);
    for (int i=1;i<=m;++i){
        int op=read(),l=read(),r=read();
        if(op==0) insert1(root,1,n,l,r);else printf("%d\n",query(root,1,n,l,r));
    //  print(root,1,n);puts("--------");
    }//puts("");
    return 0;
}