4. 寻找两个正序数组的中位数【困难】【商汤、字节 真题】 & 两个有序数组找第k大

寻找两个正序数组的中位数

一、题目描述 (注意：不去重！！！)

给定两个大小为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 $nums1$ 和 $nums2$。
请你找出这两个正序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 $O(log(m + n))$。

你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。

示例 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
则中位数是 2.0

示例 2:

nums1 = [1,2,3]
nums2 = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]
num = [1,1,2,2,3,   3,4,   5,6,7,8,9]
则中位数是 (3 + 4)/2 = 3.5

二、解题思路 & 代码

题目的要求 $O(log(m+n)$。看到 $log$，很明显，我们只有用到二分的方法才能达到。

把问题转化为 在两个数组中找第 $k$ 个大的数，求中位数就是求 第 $k$ 小数的一种特殊情况（比如，两个数组总长度为 14，那么 $k = (14+1) // 2 = 7$）

假设我们要找第 $k$ 小数，我们可以每次循环排除掉 $k/2$

$\bf A$: $A[1] ，A[2] ，A[3]，A[k/2] ...$
$\bf B$: $B[1]，B[2]，B[3]，B[k/2] ...$

如果 $A[k/2]<B[k/2]$ ，那么$A[1]，A[2]，A[3]，A[k/2]$都不可能是第 $k$

$A$ 数组中比 $A[k/2]$ 小的数有 $k/2-1$ 个，$B$ 数组中，$B[k/2] < A[k/2]$ ，假设 $B[k/2]$ 前边的数字都比 $A[k/2]$ 小，也只有 $k/2-1$ 个，所以比 $A[k/2]$ 小的数字最多有 $k/2-1+k/2-1=k-2$ 个，所以 $A[k/2]$ 最多是第 $k-1$ 小的数。而比 $A[k/2]$ 小的数更不可能是第 $k$

class Solution:
    def findMedianSortedArrays(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
        n = len(nums1)
        m = len(nums2)
        left = (n + m + 1) // 2
        right = (n + m +2) // 2

        def getKth(nums1, start1, end1, nums2, start2, end2, k):
            L1 = end1 - start1 + 1
            L2 = end2 - start2 + 1
            # 让 L1 长度小于 L2，这样如果有数组为空，则一定是 L1
            if (L1 > L2): return getKth(nums2, start2, end2, nums1, start1, end1, k)
            if (L1 == 0): return nums2[start2 + k - 1]

            if (k == 1): return min(nums1[start1], nums2[start2])
            
            i = start1 + min(L1, k // 2) - 1
            j = start2 + min(L2, k // 2) - 1

            if (nums1[i] > nums2[j]):
                return getKth(nums1, start1, end1, nums2, j + 1, end2, k - (j - start2 + 1))
            else:
                return getKth(nums1, i+1, end1, nums2, start2, end2, k - (i - start1 + 1))

        # 将偶数和奇数情况合并，如果是奇数，会求同样的 k
        return (getKth(nums1, 0, n - 1, nums2, 0, m - 1, left) + \
               getKth(nums1, 0, n - 1, nums2, 0, m - 1, right)) * 0.5

复杂度分析：

1. 时间复杂度：$O(log(m+n)$。每进行一次循环，我们就减少 k/2 个元素，所以时间复杂度是 O(log(k)，而 k=(m+n)/2，所以最终的复杂也就是 $O(log(m+n)$。
2. 空间复杂度：$O(1)$

另外附上 LeetCode 官方题解：

class Solution:
    def findMedianSortedArrays(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
        def getKthElement(k):
            """
            - 主要思路：要找到第 k (k>1) 小的元素，那么就取 pivot1 = nums1[k/2-1] 和 pivot2 = nums2[k/2-1] 进行比较
            - 这里的 "/" 表示整除
            - nums1 中小于等于 pivot1 的元素有 nums1[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
            - nums2 中小于等于 pivot2 的元素有 nums2[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
            - 取 pivot = min(pivot1, pivot2)，两个数组中小于等于 pivot 的元素共计不会超过 (k/2-1) + (k/2-1) <= k-2 个
            - 这样 pivot 本身最大也只能是第 k-1 小的元素
            - 如果 pivot = pivot1，那么 nums1[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums1 数组
            - 如果 pivot = pivot2，那么 nums2[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums2 数组
            - 由于我们 "删除" 了一些元素（这些元素都比第 k 小的元素要小），因此需要修改 k 的值，减去删除的数的个数
            """
            
            index1, index2 = 0, 0
            while True:
                # 特殊情况
                if index1 == m:
                    return nums2[index2 + k - 1]
                if index2 == n:
                    return nums1[index1 + k - 1]
                if k == 1:
                    return min(nums1[index1], nums2[index2])

                # 正常情况
                newIndex1 = min(index1 + k // 2 - 1, m - 1)
                newIndex2 = min(index2 + k // 2 - 1, n - 1)
                pivot1, pivot2 = nums1[newIndex1], nums2[newIndex2]
                if pivot1 <= pivot2:
                    k -= newIndex1 - index1 + 1
                    index1 = newIndex1 + 1
                else:
                    k -= newIndex2 - index2 + 1
                    index2 = newIndex2 + 1
        
        m, n = len(nums1), len(nums2)
        totalLength = m + n
        if totalLength % 2 == 1:
            return getKthElement((totalLength + 1) // 2)
        else:
            return (getKthElement(totalLength // 2) + getKthElement(totalLength // 2 + 1)) / 2

参考：

1. ​​LeetCode题解​​

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两个有序数组找第k大

解题思路 & 代码

其实就是上一个问题的子问题

def getKthElement(nums1, nums2, k):
    """
    - 主要思路：要找到第 k (k>1) 小的元素，那么就取 pivot1 = nums1[k/2-1] 和 pivot2 = nums2[k/2-1] 进行比较
    - 这里的 "/" 表示整除
    - nums1 中小于等于 pivot1 的元素有 nums1[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
    - nums2 中小于等于 pivot2 的元素有 nums2[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
    - 取 pivot = min(pivot1, pivot2)，两个数组中小于等于 pivot 的元素共计不会超过 (k/2-1) + (k/2-1) <= k-2 个
    - 这样 pivot 本身最大也只能是第 k-1 小的元素
    - 如果 pivot = pivot1，那么 nums1[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums1 数组
    - 如果 pivot = pivot2，那么 nums2[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums2 数组
    - 由于我们 "删除" 了一些元素（这些元素都比第 k 小的元素要小），因此需要修改 k 的值，减去删除的数的个数
    """
    m = len(nums1)
    n = len(nums2)
    index1, index2 = 0, 0
    while True:
        # 特殊情况
        if index1 == m:
            return nums2[index2 + k - 1]
        if index2 == n:
            return nums1[index1 + k - 1]
        if k == 1:
            return min(nums1[index1], nums2[index2])

        # 正常情况
        newIndex1 = min(index1 + k // 2 - 1, m - 1)
        newIndex2 = min(index2 + k // 2 - 1, n - 1)
        pivot1, pivot2 = nums1[newIndex1], nums2[newIndex2]
        if pivot1 <= pivot2:
            k -= newIndex1 - index1 + 1
            index1 = newIndex1 + 1
        else:
            k -= newIndex2 - index2 + 1
            index2 = newIndex2 + 1

if __name__ == '__main__':
    nums1 = [1,3,4,9]
    nums2 = [1,2,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
    k = 11
    res = getKthElement(nums1, nums2, k)
    print(res)