P3455 [POI2007]ZAP-Queries(莫比乌斯反演)

P3455 [POI2007]ZAP-Queries

2020-10-19
题意就是$\sum_{i=1}^{a}{\sum_{j=1}^{b}{[gcd(i,j)=x]}}$
就是这个看这个简单的式子，看着简单，他不一定简单。看题分析一下吧。
我们先把这个式子化一下，化成$gcd(i,j)=1$因为在数学中我们比较喜欢质数
$\sum_{i=1}^{\frac{a}{x}}{\sum_{j=1}^{\frac{b}{x}}{[gcd(i,j)=1]}}$
简单点之后的$\frac{a}{x}$我们用$ｌ$代替，$\frac{b}{x}$我们用$ｒ$代替，这个式子就可以化成：
$\sum_{i=1}^{l}{\sum_{j=1}^{r}{[gcd(i,j)=1]}}$
之后我们根据莫比乌斯函数$[x=1] = \sum_{d|x}{\mu(d)}$ 我们就可以得出
$\sum_{i=1}^{\frac{a}{x}}{\sum_{j=1}^{\frac{b}{x}}{\sum_{a|gcd(i,j)}{\mu(d)}}}$