第十一届蓝桥杯A组省赛平面分割

第十一届蓝桥杯A组省赛平面分割

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比赛的时候我没有想到所以没做出来，今天来补一下。

这是一个递推的题目，首先看一下若干个直线和圆分别来分割平面：

1.直线分割平面

一条直线要怎么样放置才能使得平面被分割为尽可能多的部分？

如果已经有了直线1，要让你添加一条直线，你会添加相交的还是平行的？

我们可以看到，如果添加直线2（平行），那么只会将直线1的上面部分一分为二；但是如果添加直线3（相交），那么将会将原有的两个部分都一分为二。

所以我们需要让添加的这条直线尽可能多的和原有的直线相交，并且添加的这条直线被分为了多少段，平面就会增加多少个部分。例如上图，在原有直线1的情况下， 加入直线3，那么直线3被切割为了两个部分，上面部分会上平面的上部分（直线1的上方）分割为两个部分，同理也会将平面的下部分（直线1的下方）分割为两个部分。

所以当我们加入第n条直线的时候，第n条直线最多被原有的n-1条直线切割为n段，平面也就最多增加n个部分，所以：

f(n) = f(n-1) + n
     = f(n-2) + (n-1) + n
     ......
     = f(1) + 2 + 3 ... + n
     = 1 + 1 + 2 + 3 ... + n
     = 1 + (n + 1) n / 2

2.原型分割平面

如图有两个圆形，如果我们已经有了圆形1，要添加一个圆形2，那么是相交还是不相交呢？

我们可以很容易的想到，如果相交的话，那么圆形2会被切割为两段，同直线的切割，平面也就会增加两个部分，而如果是不相交的话，圆形2就相当于只有一段，平面也就只会增加一个部分，所以我们也要让新添加的圆尽可能多的和原有的圆相交。

每和一个圆形相交就会有两个交点，所以加入第n个圆会产生2(n-1)个交点，也就是说这个圆会被切割为2(n-1)个部分，平面也就会增加2(n-1)个部分，所以：

g(n) = g(n-1) + 2(n-1)
   = g(n-2) + 2(n-2) + 2(n-1)
   ......
   = g(1) + 2 + 4 ... + 2(n-1)
   = 2 + 2 + 4 ... + 2(n-1)
   = 2 + (n-1) n

3.20个圆形和20条直线

如果有m个圆形0条直线，那么平面一共有2 + (m-1) m个部分

f(0) = g(m) = 2 + (m-1) m

这时候我们往其中依次加入直线：

1. 每次加入一条直线，我们让直线和每一个圆都相交，那么会产生2m个交点，会将直线分为2m-1个线段和两条射线，一共将会新增加2m个部分，也就是说每一条直线加入只考虑原有的圆形的话都会新增加2m个部分，即：

f(1) = f(0) + 2m
   = 2 + (m-1) m + 2m

2. 加入第二条直线，会和所有的圆增加2m个部分，和原有的直线会增加两个部分：

f(2) = f(1) + (2m + 2)

…

综上可进行推导：

f(n) = f(n-1) + (2m+n)
   = f(n-2) + (2m+(n-1)) + (2m+n)
   ......
   = f(1) + (2m+(2)) ... + (2m+n)
   = (2 + (m-1) m) + (2mn) + 2 + 3 ... + n
   = m^2 - m + 2mn + 1 + n(n+1) / 2

最后将m=20，n=20带入上式即可。

答案是1391

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人生没有白走的路，每一步都算数！