文章目录
- 309. 买卖股票的最佳时机含冷冻期
- 解题
- 方法：动态规划
309. 买卖股票的最佳时机含冷冻期
给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 i 天的股票价格 。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入: prices = [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]
示例 2:
输入: prices = [1]
输出: 0
提示：
1 <= prices.length <= 5000
0 <= prices[i] <= 1000
解题
方法：动态规划
动态规划，我们用 f[i] 表示第 i 天结束之后的「累计最大收益」
- 这一天结束时，我们目前持有一支股票，对应的「累计最大收益」记为 f[i][0]；
- 这一天结束时，我们目前不持有任何股票，并且处于冷冻期中，对应的「累计最大收益」记为 f[i][1]；
- 这一天结束时，我们目前不持有任何股票，并且不处于冷冻期中，对应的「累计最大收益」记为 f[i][2]。
（这里的「处于冷冻期」指的是在第 i 天结束之后的状态。也就是说：如果第 i 天结束之后处于冷冻期，那么第 i+1 天无法买入股票。）
如何进行状态转移呢？
- 有操作时：在第 i 天时，我们可以在不违反规则的前提下进行「买入」或者「卖出」操作，此时第 i 天的状态会从第 i−1 天的状态转移而来；
- 无操作时：不进行任何操作，此时第 i 天的状态就等同于第 i−1天的状态。
那么我们分别对这三种状态进行分析：
- f[i][0]: 结束时，手上持有股票的最大收益
- 今天买进的，说明前一天结束时不持有股票且不在冷冻期，收益为f[i-1][2] - prices[i]
- 或者是，前一天就持有的，收益为：f[i-1][0]
- f[i][1]: 结束时，手上不持有股票，并且处于冷冻期中的，说明今天卖出股票了，所以累计最大收益
- 今天卖出，前一天肯定持有股票，收益：f[i-1][0] + prices[i]
- f[i][2]: 结束时，手上不持有股票，并且不在冷冻期中，说明今天没有任何操作，前一天结束时不持有股票：那前一天在冷冻期或者不在，所以累计最大收益
- Math.max(f[i-1][1], f[i-1][2])
注意到如果在最后一天（第 n−1 天）结束之后，手上仍然持有股票，那么显然是没有任何意义的。因此更加精确地，最终的答案实际上是 f[n−1][1] 和 f[n−1][2中的较大值，即：max(f[n−1][1],f[n−1][2]
// 时间O(n) 空间O(n)
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
if (prices.length == 0 || prices.length == 1) {
return 0;
}
int n = prices.length;
int[][] f = new int[n][3];
// base case 第一天就买进
f[0][0] = -prices[0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
f[i][0] = Math.max(f[i-1][0], f[i-1][2] - prices[i]);
f[i][1] = f[i-1][0] + prices[i];
f[i][2] = Math.max(f[i-1][1], f[i-1][2]);
}
return Math.max(f[n-1][1], f[n-1][2]);
}
}空间优化：注意到上面的状态转移方程中，f[i][…] 只与 f[i−1][…] 有关，而与 f[i−2][…]及之前的所有状态都无关，因此我们不必存储这些无关的状态。也就是说，我们只需要将 f[i−1][0]，f[i−1][1]，f[i−1][2] 存放在三个变量中，通过它们计算出 f[i][0]，f[i][1]，f[i][2] 并存回对应的变量，以便于第 i+1 天的状态转移即可。
// 空间优化 时间O(N) 空间O(1)
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
if (prices.length == 0 || prices.length == 1) {
return 0;
}
int n = prices.length;
int f0 = -prices[0];
int f1 = 0;
int f2 = 0;
for (int i = 1; i < n; i++) {
int new0 = Math.max(f0, f2 - prices[i]);
int new1 = f0 + prices[i];
int new2 = Math.max(f1, f2);
f0 = new0;
f1 = new1;
f2 = new2;
}
return Math.max(f1, f2);
}
}
