PKUWC D1T3

月考考得稀撇 /kk
然后这题改了一年
$\mathcal{Loser}$
抄的 ​​$xgc$​​ 的题解 /se
$\sum_ilength_i\times v_i\sum_{j}[gcd(p_i,j)=1][gcd(t,j)=1]\\=\sum_i length_i\times v_i\sum_j\sum_{l|j,l|p_i}\mu(l)\sum_{r|j,r|t}\mu(r)\\=\sum_i length_i\times v_i\sum_{l|p_i}\sum_{r|t}\mu(l)\mu(r)\lfloor\frac{n}{lcm(l,r)}\rfloor$
枚举 $gcd(l,r)=D$
$\sum_D\sum_l\sum_{r|t}\mu(lD)\mu(rD)[gcd(l,r)=1]\lfloor\frac{n}{lrD}\rfloor\sum_i[lD|p_i]v_i\times length_i\\=\sum_D\sum_l\sum_{r}\mu(lD)\mu(rD)\sum_{d|l,d|r}\mu(d)\lfloor\frac{n}{lrD}\rfloor\sum_i[lD|p_i]v_i\times length_i\\=\sum_T\sum_{d|T}\mu(d)\sum_l\sum_{r}\mu(Tl)\mu(Tr)\lfloor\frac{n}{lrdT}\rfloor\sum_i[lT|p_i]v_i\times length_i$
注意我们 $r$ 是任意枚举的，最后对 $rT\mid t$ 的 $t$ 有贡献
枚举一个 $T$，然后考虑枚举 $d,l$ 处理贡献，我们把枚举好的东西以及系数丢掉不看
$\text{Ans}_t=\sum_{rT|t}\mu(Tr)\lfloor\frac{\frac{n}{ldT}}{r}\rfloor\sum_i[lT|p_i]v_i\times length_i$
对所有 $lT\mid p_i$ 的 $p_i$ 在 $ld$ 那排区间加
查询的时候枚举 $r$，对所有 $rT\mid t$ 的 $t$ ，在 $\lfloor\frac{\lfloor\frac{n}{ldT}\rfloor}{r}\rfloor$ 作为系数只会有 $\sqrt{\frac{n}{Tr}}$ 种不同的取值，每一个取值对应一个矩阵求和
计算区间加的个数
$\sum_T\sum_{d|T}\sum_{lT\le n}\frac{n}{lT}\\=\sum_T\log n\frac{n}{T}\log n=n\log^3n$
计算询问个数
$\sum_{T}\sum_{rT\le n}\sum_{t}\sqrt{\frac{n}{rT}}\\=\sum_T\sum_r(\frac{n}{rT})^{1.5}=\sum_T(\frac{n}{T})^{1.5}=n\sqrt n$
直接做扫描线是 $\mathcal{O}(n\sqrt n\log n+n\log^4n)$

下面考虑根号分治
我们考虑在 $T$ 较小的时候做扫描线，复杂度为 $\mathcal{O}(n\log^2 T\log^2 n)+O(n\sqrt n\log n)$，在 $T$ 较大的时候做二维前缀和，复杂度是 $\mathcal{O}(\frac{n^2}{T}+n\sqrt n)$，所以 $T$ 大概取 $64$，可能会优秀一点