毒瘤多项式以及一些毒瘤定理的总结

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毒瘤多项式以及一些毒瘤定理的总结

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qq62c30ac77b2a7 2022-07-05 12:10:50 ©著作权

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整理一下这两天学的毒瘤玩意

二项式反演

若有

$g_n = \sum_{i=0}^nC_n^if_i$

则有

$f_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}C_n^ig_i$

因为

$\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}C_n^ig_i=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}C_n^i\sum_{j=0}^iC_i^jf_j=\sum_{j=0}^nf_j \sum_{i=j} ^ n C_n^i C_i^j(-1)^{n-i}=\sum_{j=0}^nf_j \sum_{i=j} ^ n C_n^j C_{n-j}^{i-j}(-1)^{n-i}=\sum_{j=0}^nf_j C_n^j\sum_{i=j} ^ n C_{n-j}^{i-j}(-1)^{n-i}=\sum_{j=0}^nf_j C_n^j\sum_{i=0} ^{n-j} C_{n-j}^{i}(-1)^{n-j-i}=\sum_{j=0}^nf_j C_n^j[j==n]=f_n$

有一种应用是错排, fn 表示有n个是错排的方案, gn表示n个的总方案, 枚举有i个没有对上号, 就有

$g_n = \sum_{i=0}^nC_n^if_i$

反演过后

$f_n=\sum_{i=0}^n (-1)^{n-i}C_n^i i!=\sum_{i=0}^n (-1)^{n-i}\frac{n!}{(n-i)!}$

除以一个 n! 算概率, 发现是 e ^ -1 的泰勒展开, 太神奇了

FFT

两个核心式子

毒瘤多项式以及一些毒瘤定理的总结_分治_06

$(w_n^i) ^ 2=w_{n/2}^i$

然后就可以推了, 从下层把答案推到上层

分治FFT

先求出 [l - mid], 在用 [l - mid] 之间的 f 去卷 g, 贡献加到对 [mid+1 - r] 里面

泰勒展开

毒瘤多项式以及一些毒瘤定理的总结_错排_08

多项式求逆

求 B(x) 使 $A(x)*B(x)\equiv 1(modX^n)$

考虑倍增

若有 B'(x) 满足

$A(x) * B'(x)\equiv 1(modX^{n/2})$

当前的 B(x) 显然满足

$A(x)*B(x)\equiv 1(modX^{n/2})$

相减, A(x) 显然不要

$B(x)-B'(x) \equiv 0 (mod X^{n/2})$

两边平方, 都乘A(x)

$B(x)-2B'(x)+B'(x)^2*A(x) \equiv 0 (mod X^{n})$

所以

$B(x) \equiv 2B'(x) - B'(x)^2*A(x) (mod X^{n})$

多项式 ln

求 B(x) 满足 $B(x)\equiv lnA(x)(modX^n)$

同时求导

$B'(x)\equiv \frac{1}{A(x)}A'(x)(modX^n)$

对于后面那个求导

毒瘤多项式以及一些毒瘤定理的总结_多项式_17

补充一个复合函数的求导(无关)

毒瘤多项式以及一些毒瘤定理的总结_分治_18

于是就是多项式求逆

多项式 exp

求 $B(x)\equiv e^{A(x)}(modx^n)$

同时取对数

$ln(B(x))-A(x)\equiv 0(modx^n)$

设毒瘤多项式以及一些毒瘤定理的总结_多项式_21

现在要求这个函数的 0 点

根据牛顿迭代

$G(x)=G_0(x)-\frac{F(G_0(x))}{F'(G_0(x))}$

而 $F'(G(x))=\frac{1}{G(x)}$

所以

$G(x) \equiv G_0(x)(1-ln(G_0(x))-A(x))(modx^n)$

根据玄学定理

毒瘤多项式以及一些毒瘤定理的总结_错排_25

每次从 G0 推到 G, n 可以扩大一倍, 于是就类似多项式求逆倍增就好

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