【省选模拟】20/05/31

​​Sol​​

​$A$​

• 考虑每个位置有个被最早染黑的时间，求的就是这些时间的第$k$ 大
  $minmax$ 容斥一下，就是求
  
  其中 $coef$ 是不包含集合 $T$ 的区间个数，考虑 $dp_{i,j,k}$ 表示当前选到 $i$，$|T|=j$，$coef(T)=k$ 的方案数，状态很少 $O(n^5)$ 可以通过
• 考虑一个复杂度更好看但肯定跑不过$n^5$ 的做法，我们先把转移写出来
  $dp_{i,j,k}=\sum_{l<i}dp_{l,j-1,k-\binom{i-l}{2}}$
  考虑写成这样的形式
  $F_{i,j}=\sum_{l<i}F_{l,j-1}*x^{\binom{i-l}{2}}$
  代入 $\binom{n+1}{2}+1$ 个点值就可以插出原多项式，注意到我们强制在最后放一个 $n+1$，那么只需要对 $F_{n+1,1...n+1}$ 共 $n+1$ 个多项式进行 $idft$，复杂度 $O(n^3\log n)$
  回到上面的转移，发现是个卷积的形式，即
  $F_{i,j}=\sum_{l=0}^iF_{l,j-1}coef_{i-l}$
  由于代的是点值，所以 $coef$ 可以预先算出来
  我们将 $coef,F_{j=0}$ $dft$，点乘转移，复杂度 $O(n^2)$
  考虑最后只需要知道 $x^{n+1}$ 的系数，所以我们只需要对 $F_{n+1,j=1...n+1}$ 暴力 $O(n)$ $idft$ 回去
  所以可以在 $O(n^4)$ 的时间解决这个问题

​$B$​

• 考虑如何暴力$DP$，我的做法是记录 $dp_{u,v}$ 表示 $u$ 的子树，从 $v$ 接上来一条还没有匹配的链（$v=0$ 表示 $u$向上的边断掉）
  发现当 $v\neq 0$ 时，会将每个子树的 $dp$ 值乘上 $\prod_{t\neq v}dp_{t,0}$ 然后合并上去（用线段树合并简单维护）
  当 $v=0$ 时，先考虑子树中一个点和 $u$ 拼接，可以在线段树中查询 $\ge$ 某个值的 $dp$ 和还有一个 $\prod_{t\neq v}dp_{t,0}$ 的系数，考虑两个子树的拼接，假设 $dp_{v,0}=0$ 的 $v$ 有 $k$ 个
• 当$k>2$ 时不存在这种情况
  当 $k=2$ 时，两个都必须选才会有值，必定存在一个轻儿子，我们 $dfs$ 那个轻儿子
  当 $k=1$ 时，它必须选，若它是重儿子，我们 $dfs$ 所有轻儿子，否则我们 $dfs$ 除它以外的轻儿子，然后 $dfs$ 它自己与重儿子拼接
  当 $k=0$ 时， $dfs$ 所有轻儿子并考虑与前面的拼接，$dfs$ 完后将它的线段树合并上去

​$C$​

• 以下$n$是原问题的$n-1$，卡特兰数用$cat_i$表示，我们对$2n$个置换统计不动点个数
• 容易发现，当$n$为偶数时，置换个数必须为偶数
  当$n$为奇数时，对角线可能匹配，此时的不动点个数是$n*cat_{\frac{n-1}{2}}$
  设环的个数为$2d$，环的大小为$e$，考虑求出$f_d$表示有$2d$个环的方案数
  我们枚举与 1 号相连的点$2i$，它们中间的连边方式为$cat_{i-1}$，并且可以确定$i$个环的连边方式，于是有
  $f_d=2\sum_{i=1}^df_{d-i}cat_{i-1},f_0=1\\ f(x)=2f(x)cat(x)+1$
  由$cat(x)=cat(x)^2+1=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$可以得到$f(x)=(1-4x)^{-\frac{1}{2}}$
  将其泰勒展开可以知道$[x^i]f=\binom{2*i}{i}$，所以可以$O(\sigma_0(n))$计算答案